幻方法則

南宋楊輝不僅精通數學，而且精通易學，在他1275年所著的《續古摘奇算法》中，就對河圖和洛書的數學問題進行了詳盡的研究。其中對3階幻方的排列，找出了一種奇妙的規律：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”，清代，李光地的《周易折中》把楊輝所概括的這種排列排列原理為“陽動陰靜”。

基本介紹

• 中文名：幻方法則
• 表達式：Nn=1/2xn(n2+1)
• 提出者：楊輝
• 提出時間：南宋

幻方公式

我們通常所說的幻方是平面和幻方。n階幻方就是在n×n的方格中填上n^2【n的平方】個數，行、列和對角線的和值相等為完美幻方，行、列和值相等為不完美幻方。這一和值叫幻和值。

一個n階幻方幻和值公式為：

Nn=1/2xn(n2+1)

【註：n2是n的平方】

幻方類型

幻方分為奇階幻方和偶階幻方，構成方法也不同。

奇階幻方

一、Merzirac法生成奇階幻方

在第一行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向下移一格繼續填寫。如下圖用Merziral法生成的5階幻方：

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

Merzirac法，有人也叫樓梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（數字按右上方順序填入），-Y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向下移一格繼續填寫）。

其實斜步法可以向4個方向依次填寫數字，即右上、右下、左上、左下4個方向，每種斜步都可有2種跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。

對於X+Y斜步相應的跳步可以為-X，-Y。 【記住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就為向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就為向右（或向上）一步；等等等等】

二、loubere法生成奇階幻方

在居中的方格向上一格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向上移兩格繼續填寫。如下圖用Louberel法生成的5階幻方：

23 6 19 2 15

10 18 1 14 22

17 5 13 21 9

4 12 25 8 16

11 24 7 20 3

上述loubere法可以記作X+Y斜步（數字按右上方順序填入），2Y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向上移二格繼續填寫）。對於X+Y斜步相應的跳步可以為2X，2Y。 【記住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同方向即可。】

2Y跳步，則在居中的方格向上一格放1里，按上斜步，2Y跳步的方法構成幻方。

-2Y跳步，則在居中的方格向下一格放1里，按下斜步，-2Y跳步的方法構成幻方。

2X跳步，則在居中的方格向右一格放1里，按右斜步，2X跳步的方法構成幻方。

-2X跳步，則在居中的方格向左一格放1里，按左斜步，-2X跳步的方法構成幻方。

三、horse法生成奇階幻方

對於所有的奇階幻方，在第一行居中的方格內放1，向右走1步，下走2步以跳馬步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，把該數字填到本該填數所在列上方相應的格；若出到方陣右方，把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格；如果落步格已有數字， 則向下移一格繼續填寫。如下圖用Horse法生成的5階幻方：

23 12 1 20 9

4 18 7 21 15

10 24 13 2 16

11 5 19 8 22

17 6 25 14 3

n階奇階幻方，若n為不是3的倍數，那么在任意一格內放1，向右走1步，以跳馬步下走2步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，就把該數字填到本該填數所在列上方相應的格內；若出到方陣右方，就把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格內；如果落步格已有數字， 則向上移一格繼續填寫。如下圖所示，用Horse法生成的5階幻方：

1 14 22 10 18

25 8 16 4 12

19 2 15 23 6

13 21 9 17 5

7 20 3 11 24

四、錯位補角法生成奇階幻方

1.對於所有的奇階幻方，1-n*n從小到大填入n*n的方格中。以n=5時，1-25為例。

		1	2	3	4	5
		6	7	8	9	10
		11	12	13	14	15
		16	17	18	19	20
		21	22	23	24	25

2.橫錯位，將方格橫向錯位，每行錯位數為 n-行數，即第一行橫向移動n-1位，第二行橫向移動n-2位...直到形成一個左低右高的樓梯。

				1	2	3	4	5
			6	7	8	9	10
		11	12	13	14	15
	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

3.橫補角，以中間行為基準，將突出的數字補回本行所缺的方格內，4，5補到1的前，10補到6前，16補到20後，21，22補到25後。從而重新得到一個n*n方格。

		4	5	1	2	3
		10	6	7	8	9
		11	12	13	14	15
		17	18	19	20	16
		23	24	25	21	22

4.豎錯位，將方格縱向錯位，每列錯位數為 n-列數，即第一列橫向移動n-1位，第二列橫向移動n-2位...直到形成一個左低右高的樓梯。

						3
					2	9
				1	8	15
			5	7	14	16
		4	6	13	20	22
		10	12	19	21
		11	18	25
		17	24
		23

4.豎補角，以中間列為基準，將突出的數字補回本列所缺的方格內，17，23補到4上，24補到5上，2補到21下，3，9補到22下。從而重新得到一個n*n方格，及得到結果。

		17	24	1	8	15
		23	5	7	14	16
		4	6	13	20	22
		10	12	19	21	3
		11	18	25	2	9

結語：錯位補角可以先橫後豎，也可以先豎後橫。樓梯可以左低右高，也可以左高右低。只要保證橫豎做出的樓梯方向相同，就能得到正確結果。一共可以求出4個答案。

偶階幻方

偶階幻方分為雙偶幻方和單偶幻方。一個n階幻方，當n為偶數時，我們稱幻方為偶階幻方；當n可以被4整除時，我們稱該偶階幻方為雙偶幻方，如8階、12階、16階等；當n不可被4整除時，我們稱該偶階幻方為單偶幻方，如6階、10階、14階等。

一、雙偶幻方的解法

能被4整除的n階幻方叫雙偶幻方，如8階、12階、16階等，雙偶幻方用Spring法、Strachey法生成。

1、Spring法生成雙偶幻方：

方法就是兩句話：順序填數，以中心點對稱互換數字。

將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內的數字記為a(i,j)。

第一步，先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行從左到右可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………n^2【n的平方】。

簡單地說，就是1放在幻方的任意一個角格，然後按同一個方向按順序依次填寫其餘數。

以8階幻方為例，順序填數。如下所示：

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 64

等等等等，共有8種方法。（以下我只以一種為例講解。其餘方法相同）

第二步，進行對稱交換。

對稱交換的方法有兩種：

方法一；將左上區域i+j為偶數的與幻方內以中心點為對稱點的右下角對角數字進行交換；將右上區域i+j為奇數的與幻方內以中心點為對稱點的左下角對角數字進行交換。（保證不同時為奇或偶即可。）

64 2 62 4 5 59 7 57

9 55 11 53 52 14 50 16

48 18 46 20 21 43 23 41

25 39 27 37 36 30 34 32

33 31 35 29 28 38 26 40

24 42 22 44 45 19 47 17

49 15 51 13 12 54 10 56

8 58 6 60 61 3 63 1

或，

1 63 3 61 60 6 58 8

56 10 54 12 13 51 15 49

17 47 19 45 44 22 42 24

40 26 38 28 29 35 31 33

32 34 30 36 37 27 39 25

41 23 43 21 20 46 18 48

16 50 14 52 53 11 55 9

57 7 59 5 4 62 2 64

完成幻方，幻和值260。

方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上（或非對角線上）的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換。

下圖為將各4階幻方中對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換，完成幻方，幻和值260。

64 2 3 61 60 6 7 57

9 55 54 12 13 51 50 16

17 47 46 20 21 43 42 24

40 26 27 37 36 30 31 33

32 34 35 29 28 38 39 25

41 23 22 44 45 19 18 48

49 15 14 52 53 11 10 56

8 58 59 5 4 62 63 1

下圖為將各4階幻方中非對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換，完成幻方，幻和值260。

1 63 62 4 5 59 58 8

56 10 11 53 52 14 15 49

48 18 19 45 44 22 23 41

25 39 38 28 29 35 34 32

33 31 30 36 37 27 26 40

24 42 43 21 20 46 47 17

16 50 51 13 12 54 55 9

57 7 6 60 61 3 2 64

2、Strachey法生成雙偶幻方

第一步，將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m階偶數幻方。

A C

D B

A用1至(2m)^2填寫成2m階幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填寫成2m階幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填寫成2m階幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填寫成2m階幻方；

將8階雙偶幻方表示為4×2階幻方。將其等分為四個2×2階偶數幻方，即4階偶數幻方。

16 2 3 13 48 34 35 45

5 11 10 8 37 43 42 40

9 7 6 12 41 39 38 44

4 14 15 1 36 46 47 33

64 50 51 61 32 18 19 29

53 59 58 56 21 27 26 24

57 55 54 60 25 23 22 28

52 62 63 49 20 30 31 17

第三步，在A每行取m個小格（一側對角線格為必換格，其餘m-1格只要不是另一側對角線格即可），將其與D相應方格內交換；B與C以相同方法進行。

對於8階幻方，A每行取2個小格（一側對角線格為必換格，其餘1格只要不是另一側對角線格即可），要與D相應方格內交換；C與B以相同方法進行。

最簡單的方法就是：A任意2列，與D相對應的2列互換，C任意2列，與B相對應的2列互換即可。

64 50 3 13 48 34 19 29

53 59 10 8 37 43 26 24

57 55 6 12 41 39 22 28

52 62 15 1 36 46 31 17

16 2 51 61 32 18 35 45

5 11 58 56 21 27 42 40

9 7 54 60 25 23 38 44

4 14 63 49 20 30 47 33

或

64 50 3 13 32 18 35 45

53 59 10 8 21 27 42 40

57 55 6 12 25 23 38 44

52 62 15 1 20 30 47 33

16 2 51 61 48 34 19 29

5 11 58 56 37 43 26 24

9 7 54 60 41 39 22 28

4 14 63 49 36 46 31 17

等等完成幻方，幻和值260。

二、單偶幻方的解法

將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m+1階奇數幻方。

A C

D B

A用1至(2m+1)^2填寫成(2m+1)階幻方；B用(2m+1)^2+1至2*(2m+1)^2填寫成(2m+1)階幻方；C用2*(2m+1)^2+1至3*(2m+1)2填寫成(2m+1)階幻方；D用3*(2m+1)^2+1至4*(2m+1)^2填寫成(2m+1)階幻方；

【註：(2m+1)^2是(2m+1)的平方，以下同】

8 1 6 26 19 24

3 5 7 21 23 25

4 9 2 22 27 20

35 28 33 17 10 15

30 32 34 12 14 16

31 36 29 13 18 11

在A陣中取左側m列與D陣對應小格對調；在C陣中取右側m-1列與B陣對應小格對調；最後在A陣中間行取中心格與左側一格與D陣對應小格對調。

6階幻方就是4*1+2，那么m就是1。在A中間一行取中心格1個小格，其他行左側邊緣取1個小格，將其與D相應方格內交換；B與C接近右側m-1列相互交換（6階幻方m-1=0，則不用互換）。如下圖用Strachey法生成的6階幻方：

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

每一行，每一列，對角線的和值（稱為幻和值）為111。

一個n階幻方幻和值公式為：

Nn=1/2xn(n^2+1)

【註：n^2是n的平方】

N6=1/2x6x(36+1)=111