平面差集

平面差集(planar difference set)是一類組合構形，即(v，k，1)差集。若平面差集的階為n，則n=k-1，因此，平面差集為(n²+n+1，n+1，1)差集，n階平面差集的存在性等價於具有恰可遷自同構群的n階射影平面的存在性，階為質數冪的循環平面差集均已作出。但是，當n不是質數冪時，一個這樣的平面差集都沒有發現，究竟有沒有非質數冪階的平面差集，這是至今未解決的一個問題。

基本介紹

• 中文名：平面差集
• 外文名：planar difference set
• 所屬學科：數學（組合學）
• 簡介：一類組合構形，即(v，k，1)差集

基本介紹

定理1 設1≤λ<k<v-1，n=k-λ，若(v，k，λ)-差集存在。則

(i) λ(v-1)=k(k-1)，

(ii)4n-1≤v≤n²+n+1。

(iii)當v為偶數時，n為平方數；當v為奇數時。不定方程

有不全為零的整數解x，y，z。

定義 λ=1時的差集即(v，k，1)-差集叫做平面差集(planar difference set)。這是因為此時由n=k-λ=k-1及定理1(i)得v=n²+n+1，k=n+1，即由此差集可得到一個n階射影平面。

相關結論

由Singer定理即得下述結果。

定理2 若q為素數冪，則(q²+q+1，q+1，1)-循環平面差集存在。

猜想1 所有Abel平面差集都是循環平面差集。

上述猜想尚未獲得解決。又由於所有已知的平面差集都是素數冪階的，因此有理由懷疑非素數冪階平面差集的存在性。即有下述猜想。

若存在n階平面差集，則n必為素數冪。

由定理2可知，在λ=1即平面差集的情形，存在無窮對整數(v，k)使(v，k，1)-循環差集存在，從而也就有無窮多對整數(v，k)使(v，k，1)-Abel差集存在，但對給定的λ≥2已知(v，k，λ)-Abel差集存在的整數對(v，k)都是很稀少的，例如對λ=2，Dickey與Hughes證明了當k≤5000時使(v，k，2)-Abel差集存在的(v，k)僅有4對：

(v，k)=(7，4)，(11，5)，(16，6)與(37，9).

猜想：對給定的λ≥2，僅有有限對整數(v，k)使(v，k，λ)-Abel差集存在。

H.A.Wilbrink(1985)和其他一些人觀察到對n>2且n=2(mod 4)的n值，不存在平面差集，見定理3。

定理3 設D是階為v：=n²+n+1的交換群G中的一個(n²+n+1，n+1，1)-差集，如果n≡0(mod 2)但n≠0(mod 4)，則n=2。如果n≡0(mod 3)但n≠0(mod 9)，則n=3。