基本介紹
- 中文名：平面上最大傾斜線
- 外文名：lineofmaximuminclinatin
- 所屬領域：幾何學
- 相關概念：投影面、空間直角坐標系等
定義,相關性質分析,例題解析,
定義
平面上與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對該投影面的最大傾斜線，在平面上對某一投影面的最大傾斜線有無數條，它們是平面上的一組互相平行的直線。
平面上對某一投影面的最大傾斜線，是與平面上的該投影面的平行線相垂直的直線；它與該投影面的傾角，也就是平面對該投影面的傾角。
相關性質分析
如圖1所示，在平面P上有一條水平線AB，過端點A在平面P上作AB的垂線AC，在平面P的水平跡線PH上與H面交得點C，AC與PH也交成直角。過點A作垂直於H面的投射線，與H面交得a，C點在H面上，其水平投影c就在原處，連a與c，ac就是AC的水平投影，AC與ac的夾角
，即為AC對H面的傾角。在PH上任取一點D，點D的水平投影d也在D的原處，將A與D、a與d相連，則ad是平面P上直線AD的水平投影，AD與ad的夾角
，也是AD對H面的傾角。從圖1中可見：
由於在直角三角形ACD中，AD是斜邊，所以AD>AC，於是就推導出
。由此就證明了平面P上只有與水平線相垂直的直線，與H面的傾角最大，也就是平面P上的對H面的最大傾斜線。從而讀者可以聯想到：斜屋面上的雨水就是按斜屋面上的對H面的最大傾斜線的方向流下的；在斜面上如有一小球自由滾落時，滾落路線也就是過小球與斜面的接觸點在斜面上所作的對H面的最大傾斜線。
圖1
由於平面P上的對H面的最大傾斜線AC⊥PH，按一邊平行於投影面的直角的投影特性，ac也垂直PH，由此可知平面AaC既垂直於平面P，又垂直於H面，而AC、ac分別是平面AaC與P面、H面的交線，AC和ac所夾的平面角，就是平面P與H面的兩面角，也就是平面P與H面的傾角，而AC和ac的夾角是平面P上的一條對H面的最大傾斜線與H面的傾角。由此也證明了平面上的對H面的最大傾斜線與H面的傾角，就是這個平面對H面的傾角。
同理可證：平面上與正平線相垂直的直線，是平面上的對V面的最大傾斜線，它與V面的傾角
，就是該平面與V面的傾角；平面上與側平線相垂直的直線，是平面上的對W面的最大傾斜線，它與W面的傾角
，就是該平面與W面的傾角。
於是就推導了上述平面上的最大傾斜線的投影特性。
例題解析
例題1 如圖2（a）所示，已知△ABC，求作△ABC平面與H面的傾角α和與V面的傾角β。
解: 根據平面上對投影面的最大傾斜線的投影特性，在△ABC平面上分別作水平線和正平線；然後，再在△ABC平面上作它們的垂線，即為△ABC平面上對H面和V面的最大傾斜線；最後，作出對H面的最大傾斜線與H面的傾角和對V面的最大傾斜線與V面的傾角，就是△ABC平面與H面的傾角α和與V面的傾角β。
求△ABC平面與H面的傾角α的作圖過程如圖2（b）所示：
①過a'作OX軸的平行線，與b'c'交得d’；由d‘引投影連線，與bc交得d，連a與d。ad、a'd‘即為△ABC平面上的水平線AD的兩面投影。
②過b作ad的垂線，與ad交得e；由e引投影連線，與a'd'交得e'，連b'與e‘。be、b'e'就是△ABC平面上對H面的最大傾斜線BE的兩面投影。
圖2（a）
圖2（b）
圖2（c）
③過b作be的垂線，在其上從b量取反映在V面投影中的點B與E的z坐標差∆z，得b0；連b0與e0在直角三角形ebb0中，b0e與be的夾角，即為BE與H面的傾角，也就是所求的△ABC平面與H面的傾角α。
求△ABC平面與V面的傾角β的作圖過程如圖2（c）所示：
①過c作OX軸的平行線，與ab交得f；由f引投影連線，與a’b’交得f’，連c'與f’。cf、c'f'’即為△ABC平面上的正平線CF的兩面投影。
②過b’作c' f’的垂線，與c’f'的延長線交得g'；由g’引投影連線，與cf的延長線交得g，連b與g0bg、b'g’就是△ABC平面上對V面的最大傾斜線BG的兩面投影。
③過g’作b' g’的垂線，即c'g'的延長線，在其上從g’量取反映在H面投影中的點G與B的y坐標差∆y，得g0；連b’與g0。在直角三角形b’g’g0中，b'g0與b'g’的夾角，即為BG與V面的傾角，也就是所求的△ABC平面與V面的傾角β。
