“平凡” 也用於一個方程具有非常簡單結構的解，但是為了完整性不能省略。這種解稱為平凡解。例如，Ax=0中的零解,即x=0。
基本介紹
- 中文名：平凡解
- 外文名：Trivial Solution
- 定義：Ax=0中的零解,即x=0，稱為平凡解
- 套用學科：數學
- 數學範疇：矩陣代數
概念,定義,擴展,相關知識,
概念
數學中，術語“平凡”（“平凡的”）經常用於結構非常簡單的對象（比如群或拓撲空間），有時亦會用明顯或乏趣這兩個詞代替，但對非數學工作者來說，它們有時可能比其他更複雜的對象更難想像或理解。
例如：
- 明顯因數：對於每個正整數 n 來說，1、-1、n 和 -n 都是它的明顯因數。
- 平凡群：只含單位元的群；
- 平凡環：定義於單元素集合的環。
定義
一般，Ax=0中的零解,即x=0，稱為平凡解。
因為任何線性空間的子空間都過零點，所以明顯的等於0的時候解是成立的，但這顯然沒什麼意義，說這個0解是平凡的。
通俗來講，如果方程組AX=0, 只有當X=0的時候才成立，就說方程組AX=0隻有平凡解（trivial solution），此時肯定有行列式|A| 不為零。相反如果方程組AX=0存在非零解，也就是說存在不為零的X也可以使方程組AX=0成立，則說方程組AX=0存在非平凡解（nontrivial solution），此時肯定有係數矩陣行列式的值|A|=0。
例如，考慮微分方程：
。
這裡y=f(x) 為函式，其導數為y′。
- y= 0，0 函式是平凡解；
- y(x) = e，指數函式是一個非平凡解。
擴展
數學推理
平凡也經常指證明中容易的情形，為了完整性而不能省略。比如，數學歸納法證明分為兩部分：“奠基步驟”是對一個特殊起始值比如n= 0 或n= 1 證明定理；然後歸納步驟證明如果定理對特定值n成立，那么對n+1 也成立。奠基情形經常是顯然的。（但是，也有歸納步驟是平凡的而奠基情形卻困難的例子。關於多項式的定理經常是這種類型，證明對變元的個數用歸納法。證明如果係數環A是唯一分解整環那么A[X1,...,Xn] 是唯一分解整環，歸納步驟只要簡單的寫成A[X1,...,Xn] =A[X1,...,Xn-1][Xn]，而一個變元的奠基情形是困難的。）類似地，我們可能想證明某種性質對一個集合中所有元素都成立。證明的主要考慮非空集合，詳細檢驗其元素是否具有該性質；但如果集合是空集，則性質對其所有元素都成立，因為沒有元素需要檢驗。
數學界一個常見的笑話是說“平凡”和“被證明了的”是同義詞——這就是說，任何定理如果已知成立就可以認為是“平凡”的。另一個笑話是關於兩個數學家討論一個定理。第一個數學家說某個定理是“平凡的”。另一個要求一個解釋，然後他進行了 20 分鐘的解說。解說完了之後，第二個數學家同意這個定理是平凡的。這個笑話指出對平凡性判斷的主觀性。舉個例子，對微積分熟練的人，會認為這個定理
值得注意的是，平凡性也取決於語境。泛函分析中的證明可能會給出一個數，平凡地假設存在這樣的大數。在初等數論中證明自然數的基本結論時，證明也許會與“每個自然數都有一個後繼”息息相關，但此點需加以證明，或者將其作為一個公理。
