《常平均曲率曲面的研究及其在廣義相對論中的套用》是依託南開大學，由馬世光擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：常平均曲率曲面的研究及其在廣義相對論中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：馬世光
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
1996年Huisken和丘成桐在正質量的漸近平坦流形中考慮了常平均曲率球面形成的分葉結構的存在性, 後來慶傑和田剛證明了這種分葉結構的唯一性. 這種分葉結構是漸近平坦流形中很重要的內蘊結構, 我們用它可以定義質心, 還可以用來考慮Hawking質量沿分葉結構的單調性, 從而證明Penrose猜想. 在一般黎曼流形裡面也可以考慮各種類型的常平均曲率曲面或極小曲面的存在性問題 本項目擬研究如下方向: 一.在漸近雙曲流形中也考慮常平均曲率球面分葉結構的唯一性以及這些常平均曲率球面的等周性質, 並試圖解決漸近雙曲流形中的Penrose猜想.二.在一般黎曼流形中考慮非凸的拓撲為球面的常平均曲率曲面的存在性.
結題摘要
常平均曲率曲面是微分幾何中重要的研究對象，在一般的黎曼流形中，各種常平均曲率曲面的存在性和某種意義下的唯一性是很重要的問題。在數學廣義相對論中，常平均曲率曲面也扮演著重要的角色。1996年Huisken和丘成桐在正質量的漸近Schwarzschild流形中證明了穩定的常平均曲率球面形成的葉狀結構的存在性。他們利用這個葉狀結構來定義流形的質心。他們在一定的半徑條件下還得到了唯一性結論。2002年慶傑和田剛去掉了上述半徑條件，證明了最優的唯一性結論。後來黃籃萱在更廣一類漸近平坦流形中考慮了常平均曲率球面的存在唯一性問題，她的唯一性也需要一定的半徑條件。本項目的一個主要的目標就是，去掉唯一性證明中的半徑條件，證明最優的唯一性結論。另外，本項目也考慮一般黎曼流形中的常平均曲率曲面問題。 目前，我已經在更廣一類的正質量的漸近平坦流形中證明了常平均曲率球面的唯一性，不需要任何半徑條件，文章已經發表在著名的數學雜誌Adv.Math.上面。另外在一般黎曼流形中的常平均曲率曲面的存在性方面，我也得到了一定的結果。首先我證明了，如果把歐氏空間的度量在一點局部擾動，可以存在非凸的常平均曲率球面，文章發表在J.Math.Anal.Appl.上面。另外，在正質量的漸近平坦流形中，我構造了不穩定的常平均曲率球面和非中心（outlying）的常平均曲率球面，前者回答了田剛教授的關於穩定性條件的一個問題，後者給出了S. Brendle 和 M. Eichmair一個定理的新證明。這篇文章發表在Comm.Conte.Math.上面。這三篇文章都是獨立作者。另外，我跟北京交通大學的葛化彬老師合作，還在Fron.Math.China.上發表了一篇關於組合Yamabe流的文章。
