席夫定理

簡介

席夫定理是對開集條件的一種刻畫，即在開集條件下，自相似集的測度與維數都有完整的結果。

該定理表述為：設E是壓縮係數為c_i的相似壓縮族S_i(1≤i≤m)的自相似集，s為其相似維數，則下述條件等價：

1、開集條件成立；

2、ℋ^s(E)>0。

開集條件是加在壓縮映射族上的一種條件。

設S₁,S₂,...,S_m是R^d上的壓縮映射，如果存在開集V⊂R使得

則稱壓縮族S₁,S₂,...,S_m滿足開集條件，亦稱該壓縮族的不變集E滿足開集條件。

自相似集是一類具有自相似性的分形集合，是最重要的分形集類。

設Φ={φ₁,φ₂,...,φ_m}為有限壓縮族，所有的φ_j均為相似壓縮，則F稱為自相似集。它由具有各向同性的線性壓縮族，即相似壓縮族生成，其最重要的特徵是它的局部與整體具有嚴格的相似。

自相似集在分形幾何的研究中具有非常特殊的地位。