布拉利·福爾蒂悖論(Burali-Forti's paradox)亦稱最大序數悖論，在集合論歷史上的第一個悖論。設W為一切序數組成的集合，即W={1，2，…，ω，…}.可以看出W按自然數大小順序成一良序集，故由W中有一序數Ω必比W中任一序數都大，但由定義知，Ω也出現在W中，從而將有Ω>Ω.而這是矛盾的。1897年3月28日在義大利巴洛摩數學會上，布拉利·福爾蒂(C.Burali-Forti)宣讀了一篇論文，提出了上述悖論，揭開了數學基礎第三次危機的序幕。
基本介紹
- 中文名：布拉利·福爾蒂悖論
- 外文名：Burali-Forti's paradox
- 所屬學科：數學（集合論）
- 別名：最大序數悖論
- 提出者：布拉利·福爾蒂(C.Burali-Forti)
- 簡介：關於集合的一個悖論
基本介紹,背景介紹,
基本介紹
布拉利·福爾蒂悖論是關於集合的一個悖論，在古典集合論中可證如下諸命題：
1.任一良序集A不能與A的任何截段Aα相似；
2.凡由序數構成之集，按其大小為序排列時，必為一良序集；
3.由一切小於序數α的序數所組成的良序集Wα的序數
=α。
現將一切序數組成一集Γ，即Γ={x|x為一序數}，於是由命題2知，Γ可編成良序集，故有一序數γ，即
=γ，按Γ的構造知，γ∈Γ，用Γγ記Γ之元γ截Γ所獲之截段，由命題3知，
=γ，於是 = ，這表明Γ與其截段Γr之序數相同，因而Γ與其截段Γr相似，與命題1矛盾，這就是布拉利·福爾蒂悖論。布拉利·福爾蒂悖論被發現於1897年，實際上，德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))早在其兩年前就發現了這個悖論，只是沒有公開，後由義大利學者布拉利·福爾蒂(C.Burali-Forti)發現並公開之。
背景介紹
微積分的理論基礎問題，由於極限論、實數論和集合論的建立而得到了解決。第二次數學危機歷經兩個世紀，終於排除了。人們鬆了一口氣，於是在1900年，在巴黎召開的國際數學會議上，法國大數學家Poineare’宣稱：“數學的嚴格性，看來今天才可以說是實現了。”事實上，當時的數學家都喜氣洋洋，非常樂觀。
但是這種安全的想像未能維持多久，不到兩年，著名的Russell(羅素)悖論被公諸於世。Russell悖論是關於Comtor集合論的悖論，只要用邏輯術語來替代集合論術語。Russell悖論直接牽涉到邏輯理論本身，從而是直接衝擊了集合論與邏輯這兩門被數學家認為是最嚴謹的學科。這樣，Russell悖論便驚動了整個西方哲學界、邏輯學界和數學界，使得許多數學家和邏輯學家不得不認真對待和研究Russell悖論問題。
事情還得從Cantor集合論最原始的思想開始。Cantor建立古典集合論的一個最重要的思想方法就是概括原則，該原則自然、直觀，使用又方便。在Cantor早期的工作中，並沒有將該原則的思想明確立為公理。而只是隱蔽地被使用。直到Frege才公開而明確地把它作為公理模式使用。所謂概括原則，通俗地說，就是任給一個性質p(或概念)，我們就能把所有滿足所給性質p的對象。也僅由這些具有性質p的對象匯集在一起而構成一個集合。用符號來表示就是：
G={g|p(g)} ， (1)
式中，豎線左邊的g表示集合G的任一元素，而“|”右邊的p(g)表示G的元素g具有性質p，又{}表示把所有具有性質p的對象g匯集成一個集合。因此，概括原則的另一表達式就是：
針對Cantor的集合論原始構集思想，Russell指出，有兩種集合，一種是本身分子集，例如“一切概念所組成的集”，由於它本身也是一個概念，所以必為該集自身的一個元素。又如“一切集合所組成的集合”也是一個本身分子集，因為按定義知，任何集都是該集的元素，而其本身既為一集合，因而也不能例外地為該集(即其自身)的一個元素。這種集有性質x∈x，集合可以寫成
。另一種是非本身分子集，即其本身不是它自身的元素。例如，自然數集合決不是某個自然數，因此自然數集合N不可能是N的一個元素，即
，一般地寫成
，對應的集合寫成
。如此。任給一個集合Σ，則Σ要么是本身分子集，即Σ∈Σ，要么是非本身分子集，即
。現根據Cantor的概括原則，可將一切非本身分子集匯集起來構成一集，亦即
Russell悖論作為古典集合論中的一個悖論，不僅很快發現它可化歸為最基本的邏輯概念的形式，而且進一步發現能用日常語言來表述它的基本原則，Russell自己就在1919年把它改為著名的“理髮師悖論”，現陳述如下：
李家村上所有有刮鬍子習慣的男人可分為兩類，一類是自己給自己刮鬍子的；另一類則是自己不給自己刮鬍子的。李家村上有一個有刮鬍子習慣的理髮師自己約定：“給且只給村子裡自己不給自己刮鬍子的人刮鬍子。”現在要問這個理髮師自已是屬於哪一類的人?如果說他是屬於自己給自己刮鬍子的一類，則按他自己的約定，他不應該給他自己刮鬍子，因而是一個自己不給自己刮鬍子的人。再設他是屬於自己不給自己刮鬍子的一類，則按他自己的約定，他必須給他自己刮鬍子．因此他又是一個自己給自己刮鬍子的人了。哪種說法都不通，這就是所謂“理髮師悖論”。
其實在Russell悖論出現以前，古典集合論的創始者Cantor於1895年第一個在他自己所創立的集合論中發現了悖論，但他沒有公開，也不敢公開。後來這個由Cantor發現的悖論由Burali-Forti發現了，並公諸於世．人們稱為Burali-Forti悖論。不過當時沒有引起數學家的不安，因為大家認為這隻涉及到一些專門的技術問題，只要作些小修改，便能解決問題。
在Russell悖論出現後，相繼出現了許多悖論，如法國人Richard於1905年提出的一個語義悖論和與其類同的一系列悖論，又如Grelling於1908年提出的一個關於形容詞的悖論，直到1953年，沈有鼎先生還構造並發表了幾個著名的悖論：“無根據和有根據悖論”、。循環與非循環悸淪”、“玎循環與非門循環悖論”。
在數學史上，人們把集合論悖論的出現及其所引起的爭論局面，稱之謂數學第三次危機。因此，在一定程度上講，數學第三次危機乃是前兩次危機的發展和深化，因為集合論悖論涉及的問題更加深刻，涉及的範圍更為廣闊。
為了排除集合論中出現的悖論，促進數學家去探索數學推理在什麼情況下有效，什麼情況下無效，數學命題在怎樣的情況下具有真理性，在怎樣的情況下失靈。於是，在本世紀初，數學基礎論這一分科就誕生了。擺在從事數學基礎問題研究的數學家面前的首要任務，就是如何為數學的有效性，建立可靠的依據。由於在這一工作中所持的基本觀點的不同，在數學基礎論的研究中形成了各個流派。其中，主要的流派有：
1)Russell的邏輯主義學派；
2)Brouwer的直覺主義學派；
3)Hilbert的Hilbert主義學派；
4)Cohen的現代形式主義學派。
以上是在數理邏輯範疇說的情況。在集合論範疇．為了排除集合論中的悖論，促使了現代公理集合論的誕生，其中最著名的有兩個，即是由Bernays與Gödel建立的BG公理集合認最完善的一個系統。這些系統有一個共同點，即是在保留概括原則的“合理因素”的前提下。對造集的任意性加以適當限制。ZFC系統包括了處延、空集、配對、並集、冪集、子集(即劃分)、無窮、選擇、替換、正則等10條非邏輯公理。Zermelo於1908年建立了他的集合論公理系統，幾經改進，最後由Fraenkel與Skolem在1921-1923年間給了一個嚴格的解釋。進而形成著名的ZF系統，ZF系統是承認選擇公理的，通常寫成ZFC系統，其中英文字母C表示該系統接受選擇公理。
ZFC系統的真實目的是為分析學奠定嚴格的基礎。如前所述，微積分的基礎已通過Cauchy的極限論歸約到Dedekind的實數論，而實數論的不矛盾性又歸約於集合論的不矛盾性。ZFC系統是以如下的路線來為微積分奠基的，這就是由無窮公理來保證自然效集的合法性，再由冪集公理導至實數集的合法化，然後再由子集公理來保證實數集中滿足性質p的元所組成的子集的合法性。這樣一來，只要ZFC系統無矛盾，嚴格的微積分理論就能在ZFC公理集合論上建立起來了。但是，問題正在於ZFC系統本身的無矛盾性至今沒有被證明，所以至今不能保證在這個系統中今後不會出現悖論，雖然在ZFC系統中能夠排除已經出現的那些集合論的悖論，並且ZFC系統套用到今天，尚未出現過其他矛盾。但是。Poincaré指出：我們設定柵欄．把羊群圍住，免受狼的侵襲，但是很可能在圍柵欄時就已經有一條狼被圍在其中了。
由於ZFC系統不能保證在這個系統中今後不會出現悖論，從這個意義上來說，第三次數學危機並沒有徹底解決，我們甚至可以說，我們還處在第三次數學危機中。
