基本介紹
- 中文名:布勞威爾度
- 外文名:Brouwer's degree
- 適用範圍:數理科學
簡介,性質,套用,
簡介
布勞威爾度亦稱映射度或拓撲度,是對一類連續映射的一種刻畫。
對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。設f:S→S(n,1)是連續映射,(K,φ)是S的一個剖分,同調群Hn(S)≊Z,這裡Z表示整數加群,以[z]記同調群Hn(K)的生成元,若則有整數m使得的誘導同態,這個m稱為f的布勞威爾度,記為deg f。映射度deg f與S的剖分(K,φ)和Hn(K)的生成元的選取無關。
性質
根據誘導同態的性質,可得到下述結論:若f,g:S→S都是連續映射,則:
1.若f≃g,則deg f=deg g;
2.deg(f∘g)=deg f∘deg g;
3.對於S上的恆同映射,有,對於常值映射c:S→S,有deg c=0。
根據以上性質,可以定義對應deg#:[S,S]→Z,使得對於f所屬同倫類[f]規定deg#([f])=deg f。
根據霍普夫(Hopf,H.)的度數定理,deg#是一一對應。它表明S到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定。
套用
布勞威爾度套用廣泛,如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關於布勞威爾度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。
討論n維球面S到自身連續映射的同倫類構成的集合[S,S],是映射的同倫分類問題中最基本的內容,並且很多幾何問題的解決都有賴於對這個集合性質的了解。研究這個集合結構的一種方法,就是對每個連續映射f:S→S聯繫一個整數,即所謂布勞威爾度,它是由布勞威爾(Brouwer,L.E.J.)首先提出的。