巴尼斯G函式

巴尼斯G函式是超級階乘函式在複數上的擴展。

基本介紹

• 中文名：巴尼斯G函式
• 外文名：Barnes G function
• 命名者：Ernest William Barnes
• 學科：數理科學

定義

巴尼斯G函式是超級階乘函式在複數上的擴展。

它與Γ函式、K函式以及格萊舍常數（Glaisher constant）有關。

巴尼斯G函式以數學家歐尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。

巴尼斯G函式可以通用魏爾施特拉斯分解定理的形式定義為：

其中，γ表示歐拉-馬歇羅尼常數。

差分方程、函式方程與特殊值

巴尼斯G函式滿足差分方程

特殊地，G(1)=1。

從此方程可推出G取整數自變數時有：

因此，

其中， 表示Γ函式， 表示K函式。

另外，在滿足條件 時，差分方程唯一確定一個G函式。.

由G函式的差分方程和Γ函式的函式方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

乘法公式

與Γ函式一樣，G函式也有其乘法公式：

其中K是一個常數，定義為：

其中 表示黎曼ζ函式的導函式， A則表示為格萊舍常數。

可漸近展開為（由巴尼斯提出）：

其中 為伯努利數，A 為格萊舍常數。（需要注意的是，在巴尼斯的時代，伯努利數習慣寫成。）