差商

差商即均差，指導數的近似值。對等步長(h)的離散函式f(x)，其n階差商就是它的n階差分與其步長的n次冪的比值。例如n=1時，若差分取向前的或向後的，所得一階差商就是函式的導數的一階近似；若差分取中心的，則所得一階差商是導數的二階近似。

基本介紹

• 中文名：差商
• 外文名：difference quotient
• 所屬學科：數學
• 相關概念：插值、插值節點、差商表等

定義

給定函式和插值節點用表示關於節點的k階差商(k-th Difference Quotient)(k=1，2，…，n)，它們可遞歸定義為

其中關於節點的0階差商定義為其函式值，即。

差商表

可以構造差商表(表1)，按列遞推計算的各階差商：

表1 差商計算表

節點	0階差商	1階差商	2階差商	3階差商	4階差商

具體計算過程為

0階差商：

1階差商：

2階差商：

3階差商：

差商的性質

根據差商的定義，利用數學歸納法可以證明差商具有如下性質：

性質1

對有

如

性質2

(對稱性)差商與插值節點的順序無關，即

其中是的任意一個排列。