基本介紹
- 中文名:對頂角
- 外文名:vertical angles, opposite angles
- 適用領域:幾何學、數學
- 範圍:0度~180度(不包括0度和180度)
- 性質:互為對頂角的兩個角相等
- 反映問題:兩個角之間的大小關係
定義,例子,巧算對頂角,性質,歷史,對頂角定理,用途,
定義
對頂角滿足下列定理:兩直線相交,對頂角相等。
用數學語言描述就是:
- 設直線AD、BC交於點O。則形成四個角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互為對頂角,∠AOC和∠BOD互為對頂角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。
例子
如圖1, 兩條直線相交,構成兩對對頂角。∠1與∠3為一對對頂角,∠2與∠4為一對對頂角。
圖1
![圖1 圖1](/img/7/d53/nBnauU2N2UDZzYWO3MmYzY2YycjZ5EWOxEDMwU2MmdzNxkzY2gzNhhzYwQ2LptWa39yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
注意:
1.對頂角一定相等,但是相等的角不一定是對頂角。
2.對頂角必須有共同頂點。
3.對頂角是成對出現的。
在證明過程中使用對頂角的性質時,以 圖1為例,
∴∠1=∠3,∠2=∠4(對頂角相等)。
巧算對頂角
任何兩條直線可以看成一個組合,這樣的組合有C(n,2)=n(n-1)/2 ,每個組合有兩對對頂角 ,因此n條直線相交於一點,共有2C(n,2)=n(n-1)對。即:
2條直線相交於一點,有(2)對不同的對頂角;![對頂角 對頂角](/img/a/c62/nBnauMDZxUDZzgzY5AzN2U2M4cTZ1QGZ4QTOzgzYxQWYjVTOmFTNyUGNxMzLptWa39yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![對頂角 對頂角](/img/a/c62/nBnauMDZxUDZzgzY5AzN2U2M4cTZ1QGZ4QTOzgzYxQWYjVTOmFTNyUGNxMzLptWa39yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
3條直線相交於一點,有(6)對不同的對頂角;
4條直線相交於一點,有(12)對不同的對頂角;
..............
n條直線相交於一點,有n(n-1)對不同的對頂角。
性質
如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等。
在同一平面內,互為對頂角的兩個角相等。
歷史
勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生髮現了多個幾何學定理,包括等腰三角形中的“等邊對等角”定理,也包括對頂角定理。
對頂角定理
![](/img/5/62f/1f95df81588b5fce2324bd5b18e7.jpg)
其中
是一個平角的弧度數。
![](/img/c/133/5a23ee65a1bfb4ba2b3dd5af17d5.jpg)
![](/img/3/4a2/57515c69a83e4ace049dd6641e83.jpg)
因此,![](/img/2/0c7/73dd668616fd1a334cc4464f2549.jpg)
![](/img/2/0c7/73dd668616fd1a334cc4464f2549.jpg)
兩邊減去相同的角度
後,就得到
![](/img/a/031/d0a443d68e78fe76693f734bb608.jpg)
![](/img/d/715/1ac90f3fe28e128e5d66631b0d22.jpg)
同樣地,可以證明
。
![](/img/d/20d/1e15e66dcc0d6bec9bcaecfbef87.jpg)
用途
對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子:
如右圖,已知AB=CD,∠BAE=∠CAE。求證:
。![對頂角 對頂角](/img/0/314/nBnauMTMwEWYycDZ5YWOkZGMhVTZxAjZjdTZiRDN3gzMzMGMwYjY2QjM3Y2LptWa39yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/3/914/f69299d410ff856e09268169fd08.jpg)
![對頂角 對頂角](/img/0/314/nBnauMTMwEWYycDZ5YWOkZGMhVTZxAjZjdTZiRDN3gzMzMGMwYjY2QjM3Y2LptWa39yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
證明:在△ABE與△DCE中,
![](/img/2/85e/f9ad00a3df9f8ae5a6074097cf8a.jpg)
因此,
。
![](/img/c/bea/d905fc9e5dd5c5a11d17828c84fc.jpg)
在以上證明中,∠AEB=∠CED的結論就是通過對頂角定理得出的。注意,在一般的幾何證明中,對頂角定理並不需要顯式地敘述出來,可以當作是默認的條件。