對數判別法

對數判別法(logarithmic test)是正項級數收斂性的一種判別法，是以∑n^-p，∑(nln^pn)^-1為比較級數得到的判別正項級數∑a_n收斂性的方法。第一對數判別法：若存在p，使n充分大時L_n=(ln(1/a_n))/ln n≥p>1，則∑a_n收斂；若n充分大時L_n≤1，則∑a_n發散；第二對數判別法：設L_n=|ln(na_n)|/lnln n，結論同上。

基本介紹

• 中文名：對數判別法
• 外文名：logarithmic test
• 所屬學科：數學（數學分析）
• 簡介：正項級數收斂性的一種判別法

基本介紹

第一對數判別法：若存在p，使n充分大時

或等價地，L_n>1，則∑a_n收斂；若n充分大時L_n≤1，則∑a_n發散。

第二對數判別法：設L_n=|ln(na_n)|/lnln n，結論同上。

對數判別法的證明

設，且，試證明：當0<A<1時，級數發散；當A>1時，級數收斂。

分析 該命題是正項級數的一個判斂法，稱為對數判別法。證明的思路是用極限的定義導出m充分大後ln u_n與(q為某常數)之間的不等式關係，從而得u_n與之間的不等式關係，再用比較判別法。

證明 因為，所以任給ε>o，存在正整數N，當n>N時，有

即

當0<A<1時，取ε>0，使A+ε=q<1，於是。即，而發散，所以發散；

當A>1時，取ε>0，使A-ε=p>1，於是，即，而收斂，所以收斂。

例題解析

利用對數判別法研究如下通項的級數的收斂性：

【例1】

解利用對數判別法，因為：

由對數判別法，知僅當，即時，級數收斂。

【例2】

解利用對數判別法：

對於，存在n₀，使當時，，故級數收斂。