根式判別法

根值判別法，又稱柯西判別法，是判斷正項級數收斂性的一種重要方法。正項級數收斂性判別法主要有根式判別法、比式判別法、阿貝爾判別法、積分判別法和對數判別法等。

級數收斂的定義

設有數列 ，此數列的項依次用加號連線起來，即 ，或 ，稱為數值級數，其中 稱為級數的第 項或通項，取級數前 項的和為 ，稱為級數的 項部分和。若級數的部分和數列 收斂，稱此級數收斂，否則，稱該級數發散。

根式判別法

定理 (根式判別法)

有正項級數 ，存在常數 及 ，

1）若對一切 ，成立不等式

則級數 收斂。

2）若對一切 ，成立不等式

則級數 發散。

證明：由1）中條件有

因為上式右邊等比級數當 時收斂，故由比較原則，這時有級數 也收斂。對於情形 2），由條件可以推出

這顯然是不可能的，由級數收斂的必要條件可知，級數是發散的。證畢。

推論1（根式判別法的極限形式）

設有正項級數 ，且

則

1）當 時，級數 收斂。

2）當 時，級數 發散。

推論2

設有正項級數 ，且

則

1）當 時，級數 收斂。

2）當 時，級數 發散。

根式判別法的局限性

根式判別法本質上還是比較判別法，是將級數和幾何級數 比較得到的，是在正項級數斂散性判別中是一個十分重要的方法，不少級數均可依此法判別其斂散性。

從理論上來說，凡是能用比式判別法判斷其斂散性的級數，必定也能用根式判別法來判斷其斂散性，但反之不成立。這說明根式判別法較比較判別法有更大的適用性，但是，根式判別法也有其失效性。在根式判別法只討論了 的情況,並沒有考慮 的情況,也沒有考慮 不存在又是怎樣的情況。例如 都有

但前者收斂，後者發散。這說明這種判別法存在著一定的不足。