基本介紹
- 中文名:對偶系統
- 外文名:dual system
- 所屬學科:數理科學
- 註明:兩個規劃模型中變數非負
- 相關概念:線性系統、狀態向量等
基本介紹,原系統與其對偶系統之間的屬性,系統結構圖的對偶性,對偶系統的線性屬性和時變屬性,狀態轉移矩陣的對偶性,時序的對偶性,參數矩陣的對偶性,對偶系統的性質,
基本介紹
考慮線性時變系統:
![](/img/0/b09/e927cd213e9ce625fa9e01a37327.jpg)
其中,
為n維狀態向量,
為p維輸人向量,
為q維輸出向量。
、
、
和
分別為
和
時變矩陣。
![](/img/a/9f6/891933b6c6c02c83324f72f42496.jpg)
![](/img/b/8d7/e94c7a6d7421a831ab4522404691.jpg)
![](/img/8/5bf/bc10ef716916f665ed6404b33654.jpg)
![](/img/1/be6/250a54321c1ac0420e44bc84f810.jpg)
![](/img/8/b1a/167f23ef16a68e9e8c8aadd35a19.jpg)
![](/img/4/a14/4f54c26495e05b3d0cff567e2fe0.jpg)
![](/img/5/dc3/8d633b882cb73d0e8462fe44b4d8.jpg)
![](/img/4/ba6/20f8edf2e60bb25c085fae7997fd.jpg)
![](/img/f/250/0855d1877dfbde741df81e953788.jpg)
定義1 對於線性時變系統(1),根據系統矩陣構造如下形式的時變系統:
原系統與其對偶系統之間的屬性
下面介紹原線性系統與其對偶系統之間具有的屬性。
系統結構圖的對偶性
對偶系統的結構圖如圖1所示。從圖中可看出,互為對偶的系統在結構上,如信號流向、狀態、輸入和輸出的作用點、求和點位置等呈現對偶屬性。如果稱結構圖左部的量為“輸入量”,結構圖右部的量為“輸出量”,則圖(a)表示用“輸入量”控制“輸出量”,是一個控制問題;圖(b)表示用“輸出量”求得“輸入量”,是一個估計問題。因此,對偶性原理揭示了最優控制和最優估計之間的內在聯繫。
對偶系統的線性屬性和時變屬性
若原系統(1)為線性系統,則其對偶系統(2)也為線性系統;若原系統(1)為時變(或定常)系統,則其對偶系統(2)也為時變(或定常)系統。
狀態轉移矩陣的對偶性
![](/img/2/493/708083f6f99bb27dacd677020707.jpg)
時序的對偶性
![圖1(a)原系統 圖1(a)原系統](/img/4/407/nBnauI2NwAjMwIDOwY2M3MTMhRGNjZ2MzczY5UTO4M2MzkDZ3EmM0QjMlBzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![圖1(b)對偶系統 圖1(b)對偶系統](/img/2/c9d/nBnauIjMlJ2MkZzMlNWNxEWZyMWYzY2YkZjNiJWO0MDNzgjMhJDNkRmM0IzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
參數矩陣的對偶性
若記原線性系統與其對偶系統分別為
和
,則原線性系統
與其對偶系統
的參數矩陣之間具有如下對應關係:
![](/img/2/272/96aaffc2687251d26050c401b53a.jpg)
![](/img/d/48f/319ac6fd55d386f4c3523e0cc735.jpg)
![](/img/2/272/96aaffc2687251d26050c401b53a.jpg)
![](/img/d/48f/319ac6fd55d386f4c3523e0cc735.jpg)
![](/img/d/48f/319ac6fd55d386f4c3523e0cc735.jpg)
![](/img/2/272/96aaffc2687251d26050c401b53a.jpg)
![](/img/d/48f/319ac6fd55d386f4c3523e0cc735.jpg)
![](/img/2/272/96aaffc2687251d26050c401b53a.jpg)
對偶系統的性質
若系統
和系統
互為對偶,且系統
的傳遞函式矩陣為
,系統
的傳遞函式矩陣為
,則有
![](/img/1/d73/3565b6246d1cdf5b6b1ddac84a7b.jpg)
![](/img/7/cbb/b19703b1f24d89a11a8345f87b56.jpg)
![](/img/b/b82/27ef5291167661fee1c6a13700d7.jpg)
![](/img/6/99e/4f57a5f0868de99dbd31e116d841.jpg)
![](/img/c/4c9/076306c4746f9ed9a275c4b25a61.jpg)
![](/img/6/e7a/5c81fc14e291e3a97ebddf0c95f2.jpg)
![](/img/4/9f7/935b6820e87e80a6c750c4ef07c2.jpg)
![](/img/f/08f/8ff3abc71fa5ae0d6d143a1648bb.jpg)
由於
![](/img/8/6a2/ca370c28df76c376ac6275d163d3.jpg)