實際數（practical number）是指一正整數n有許多約數，所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真約數和表示。
基本介紹
- 中文名：實際數
- 外文名：practical number
- 領域：統計學
簡介,實際數的充份必要條件,和其他數列的關係,和埃及分數的關係,和素數的類似之處,
簡介
實際數（practical number）是指一正整數n有許多約數，所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真約數和表示。例如12的真約數有1, 2, 3, 4及6，而1至11的數字中有幾個不是12的真約數，但都可以表示為數個相異真約數的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。
以下是實際數的列表（OEIS中的數列A005153）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中，在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數，但其中有一個表，其中有許多分數的分母為實際數。
實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，他希望可以找出有這類性質的數字，此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成。利用正整數的素因數分解可以判斷是否是實際數，所有2的冪及偶數的完全數都是實際數。
實際數的充份必要條件
一個正整數可以由其素因數分解看出是否是實際數，一正整數
，其中
，素因數為
，其為實際數若且唯若
，且對於每個2到k之間的i：
由於以上條件成立時，才能用其他較小的約數和表示
，因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。
和其他數列的關係
所有2的冪都是實際數。2的冪的素因數分解滿足實際數的充份必要條件：第一個素因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數：依照歐拉的研究，偶數的完全數可以表示為2(2−1)，其奇數的素因數可以用其他偶數部分的除數函式來表示，因此也滿足實際數的充份必要條件。
任一個素數階乘也都是實際數。根據伯特蘭－切比雪夫定理，素數階乘中最大的素數會小於次大素數和最小素數的乘積，因此滿足實際數的充份必要條件。前k個素數冪次的乘積也都是實際數，包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數。
和埃及分數的關係
斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數，再來則是設法將分子表示為分母約數的和，此方式只在分母為實際數時有效。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時，分數用埃及分數表示時的表示式。
和素數的類似之處
實際數特別的一點是其許多性質都類似素數。例如假設p(x)為小於x實際數的個數，Saias證明存在常數c1及c2使得下式成立：
