定點乘法器

乘法的基本規律

首先看一下十進制數的乘法。為了方便起見，假定十進制數的各位要么為 1要么為0，例如 (1000) ×(1001) ：

從上面的步驟我們可以看到：

(1)從右到左用乘數的每一位乘以被乘數，每一次乘得的中間結果比上一次的結果往左移一位。

(2)積的位數比被乘數和乘數的位數要多得多。因此，乘法必須像加法那樣處理溢出問題，如果兩個32 位的數相乘，積也只有32 位的時候，就會出現溢出。在上面的例子中，我們把十進制數的各位限制為0 或1。因此，每一步的乘法相當簡單：

(1) 如果乘數位是 1，則簡單的複製被乘數到合適的位置(ix 被乘數)；

(2) 如果乘數位是 0，則在合適的位置置0

因為二進制數的各位是0 或1，所以與上面情況類似。

既然已經知道了乘法的基本規律，下一步就是設計高度最佳化的乘法器硬體。為了更明了乘法器的原理，在此一一列舉乘法器的3 個版本的改進。我們先假定被乘數和乘數都是正數。

第一代乘法器

初始的設計模擬我們剛才提到的乘法流程，硬體結構如圖 1.14 所示。假定乘數在32 位乘數暫存器里，64 位的積暫存器初始化為0，顯然每一步需要把被乘數左移一位。左移32次之後，被乘數的32 位會被移到左邊，因此我們需要64 位的被乘數暫存器，初始狀態為低32 位是被乘數，高32 位是0。這個暫存器每一步左移一位，和中間結果對齊，進行相加，相加的結果存在被積暫存器里。同時，乘數暫存器右移以決定是×1 還是×0。

圖 2.15 說明了進行每1 位乘的3 個基本的操作步驟。第1 步乘數的最低位決定被乘數是否被加到積暫存器中，第2 步的左移操作相當於中間結果左移，第3 步的右移操作給出乘數的下一位以決定相應的操作。上述3 個步驟重複32 次就可以得到乘積的最後結果。

第二代乘法器

經過仔細觀察我們可以發現，被乘數暫存器的大部分時間有一半位數是 0，W，也就是說只有一半的位數是有用的。在第一代乘法器中，被乘數左移後的位置添0，因此移位後的乘數和中間結果積相加，不影響結果，那么我們可以保持被乘數不動，將中間結果積右移，因此，被乘數暫存器只要32 位即可。圖2.15 和圖2.16 說明了以上改進，圖2.16 是第二代乘法器的硬體結構，圖2.17 是在硬體結構基礎之上的工作流程。

第三代乘法器

比較善於節省空間的人們發現，積暫存器浪費的空間正好和乘數暫存器浪費的空間一樣，因此，在第三代乘法器中，將積暫存器的右半部分和乘數暫存器結合起來。由圖2.18硬體結構可見，乘數暫存器消失了，初始化時將乘數放在積暫存器的右半部分，左半部分是0。圖2.19 是建立在圖2.18 之上的運算流程。