基本介紹
- 中文名:完全立方式
- 外文名:perfect cube expression
- 所屬學科:數學
- 所屬問題:初等代數
- 重要公式:a3±b3±3a2b+3ab2=(a+b)3
基本概念,完全立方式的套用舉例,化簡,分解因式,判斷根的個數,
基本概念
一個數(或式子)等於某個有理數(或式子)的立方,則稱這個有理數(或式子)為完全立方數(或完全立方式)。如8=23,8稱為完全立方數。a3﹢b3+3a2b+3ab2=(a+b)3,a3-b3-3a2b+3ab2=(a-b)3,則a3﹢b3+3a2b+3ab2和a3-b3-3a2b+3ab2為完全立方式。
完全立方式的套用舉例
化簡
【例1】




【例2】




分解因式
【例3】






判斷根的個數
定理 對於一元三次方程
,設方程
的判別式
,則方程
的根的各種情形是:




(1)方程
有三個不同的實根
且f(x)的兩個極值異號(此時,設f(x)的兩個極值點分別為
,則三個根分別在
內);




(2)方程
有一個二重實根和一個一重實根
且f(x)有一個極值為0(此時極值點就是二重實根);


(3)方程
有三重實根
(即b2=3ac)且b3=27a2d
f(x)是完全立方式(此時三重根為
);




(4)方程
有一個實根和兩個共軛虛根
除①,②,③之外的所有情形。


【例4】討論方程
的根的情況。

解 方程
的判別式
。


(1)當
且f(x)的兩個極值異號,即
時,原方程有三個相異實根;


(2)當
且f(x)有一個極值為0,即
時,原方程有一個二重根(
)和一個一重實根(
);




(3)f(x)不會是完全立方式,所以原方程不會有三重實根;
(4)其餘的情形,即
時,原方程有一個實根和兩個共軛虛根。
