《子空間標架理論的若干問題及套用》是依託北京工業大學，由李雲章擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：子空間標架理論的若干問題及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李雲章
- 依託單位：北京工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
去噪是信號處理的關鍵問題之一，標架與偽標架在信號去噪中有重要套用；多址技術一直都是無線通信的關鍵技術之一，超標架在多址技術方面有重要套用。到目前為止，全空間(平方可積函式空間)標架理論的研究成果豐碩，約化子空間標架理論的研究取得了一定進展，子空間超標架的研究未見報導。約化子空間是Hardy空間與全空間的推廣，實際問題中有大量約化子空間中的信號。研究表明，約化子空間標架理論與子空間超標架理論不是全空間標架理論的平凡推廣，如子空間超Gabor標架Ron-Shen對偶原則不成立等。本項目擬研究一般約化子空間中Parseval標架小波的分類、標架小波乘子、偽標架小波，向量值子空間中超小波與超Gabor標架，並嘗試其在信號處理、無線通信等方面的套用。其研究成果將進一步豐富和完善小波與Gabor標架的理論、拓寬標架理論的數學套用，為信號去噪提供理論借鑑和啟示，為設計高效的多址通信方式提供一個新的視角。
結題摘要
標架理論極具理論與工程背景，在數值分析、信號處理、無線通信等領域有重要套用。到目前為止，全空間(平方可積函式空間)標架理論的研究成果豐碩，子空間標架理論的研究成果遠不如全空間豐富。本項目研究內容包括架小波乘子、子空間（偽）標架小波、子空間Gabor標架等方面。 關於標架小波乘子及相關問題：在伸縮矩陣行列式絕對值為2的條件下,證明了七類標架小波乘子的等價性，給出了其構造，同時證明了由乘子誘導的一些標架小波集合的弧連通性；刻畫了半正交Parseval標架小波的維數函式。 關於約化子空間標架小波：在一般約化子空間的背景下引入了弱（偽）仿射雙標架概念，給出了基於一般細分函式的弱（偽）仿射雙標架的構造，並得到了與之相聯繫的快速算法；在恰當條件下證明了弱仿射雙標架與弱偽仿射雙標架的等價性。 關於連續子空間Gabor標架：進一步完善了張成子空間Gabor標架理論；建立了直線周期集上（向量值或超）Gabor標架及其對偶的基本理論；引入了弱Gabor雙標架概念，給出了其Zak變換域刻畫與時域刻畫；用聯繫格點生成群的Haar測度刻畫了高維周期集上Gabor標架的存在性。 關於離散子空間Gabor標架：用Zak變換矩陣方法刻畫了張成子空間混合多視窗Gabor標架及其Gabor對偶；刻畫了離散周期集上超（多視窗）Gabor系的完備性、標架條件及Gabor對偶，得到了其稠密性定理。 研究成果被總結成22篇論文發表在《J. Funct. Anal. 》、《J. Fourier Anal. Appl. 》、《J. Math. Anal. Appl.》及《Sci. China Math.》等雜誌，其中SCI 21篇。這些成果構成了子空間小波與Gabor 標架的基本理論框架，為其數學套用和工程套用提供了一個理論借鑑。
