子域上阿基米德序域(Archimedean orderedfield over a subfield)是一類相對於子域具有特殊性質的序域。
基本介紹
- 中文名：子域上阿基米德序域
- 外文名：Archimedean orderedfield over a subfield
- 領域：數學
- 學科：域論
- 性質：序域
- 人物：阿基米德
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概念
子域上阿基米德序域(Archimedean orderedfield over a subfield)是一類相對於子域具有特殊性質的序域。設(F',>)是一個序域，E是F的一個子域。對於元素a∈F，若對於E中每個正元素b，恆有士a>b，則稱a在E上是無限小的。F中零元素在任一子域上都是無限小的。這個概念的重要性在於：序域上任何一個與序相容的賦值理想恰好由在某個子域上是無限小的全部元素組成。序域(F,>)，若F沒有在E上是無限小的非零元素，則稱F為在子域E上是阿基米德的。這一稱謂可看做阿基米德序域在概念上的一個推廣。事實上，序域(F,>)是阿基米德序域，若且唯若(F,>)在素子域Q上是阿基米德的。
阿基米德序
阿基米德序是一種重要的序。設>是域F的一個序，a>0是F中任一元。若對於F中每個b>0，總有某自然數n(與a，b有關)，使得有na>b成立，則稱>是F的一個阿基米德序；同時又稱(F，>)為阿基米德序域。若不能使上述條件滿足，則稱>是非阿基米德序；(F，>)為非阿基米德序域。R和Q關於它們惟一的序都是阿基米德序域；反之，任何一個阿基米德序域都序同構於R的某一子域。
序域
序域是一種特殊的域。它是有序結構的域。一個域F，若在它的元素之間存在一個二元關係>，滿足下述條件：
1.對於任意a∈F，必有a=0或a>0或-a>0三者之一成立(0指F的零元)；
2.從a>0，b>0可導出a+b>0及ab>0；
則稱>是F的一個序，帶有序>的域F稱為序域，記以(F，>)。凡是能在其中規定序的域，就稱為可序的，或稱可序域。在實數域R和有理數域Q中，通常的大小關係就給出它們的一個序。因此R和Q都是可序域，而且，它們只能有這樣給出的序。不過，並非所有的可序域都只有惟一的序。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a，使aa=aa=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
