本書根據作者近10年來為工科研究生講授“套用泛函分析”課程的教學內容充實修改而成。其主要內容有：實分析基礎、距離空間、線性賦范空間與內積空間、線性泛函與線性運算元、不動點定理與最佳逼近、線性運算元譜論初步和抽象空間的微積分等。在講述上儘量通俗直觀、深入淺出，對諸多抽象概念和定理提供了較多的例子。習題難易適中並附有解答或提示·
本書適合工科研究生和數學專業本科生作為教材或教學參考書使用·
基本介紹
- 書名：套用泛函分析原理
- 作者：李廣民 劉三陽
- ISBN：7560612652
- 類別：分析> 泛函分析
- 出版社：西安電子科技大學出版社
- 出版時間：2003-8-1
- 開本：16開
圖書目錄
第一章 實分析基礎 1
1.1 集合及其運算 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的運算 2
1.1.3 可數集與不可數集 3
1.2 實數的完備性 5
1.2.1 有理數及其稠密性 5
1.2.2 實數及其完備性 6
1.3 實直線上的開集、閉集、連續函式11
1.3.1 開集與閉集 11
1.3.2 點集上的連續函式 13
1.4 勒貝格(Lebesgue)測度與可測函式 15
1.4.1 勒貝格測度 15
1.4.2 可測函式 19
1.5 勒貝格積分 22
1.5.1 勒貝格積分的定義與性質 23
1.5.2 積分的極限定理 29
習題一 33
第二章 距離空間 35
2.1 距離空間的定義及例子 35
2.1.1 距離空間的定義 35
2.1.2 距離空間中的極限 38
2.1.3 距離空間中的開集與閉集 40
2.1.4 連續映射 41
2.2 距離空間的可分性與完備性 42
2.2.1 可分性 42
2.2.2 完備性 45
2.2.3 距離空間的完備化 48
2.3 距離空間的列緊性與緊性 50
2.3.1 列緊性 50
2.3.2 全有界性 52
2.3.3 幾個具體空間中點集列緊的等價條 53
習題二 54
第三章 線性賦范空間與內積空間 57
3.1 線性賦范空間 57
3.1.1 定義及例子 57
3.1.2 線性賦范空間中的極限 59
3.1.3 線性賦范空間的完備化 60
3.2 有限維線性賦范空間 61
3.2.1 n維線性賦范空間的模型 61
3.2.2 範數的等價性 62
3.2.3 有限維線性賦范空間的性質 62
3.3 內積空間與希爾伯特空間 65
3.3.1 內積與內積空間 65
3.3.2 正交與正交分解 68
3.4 內積空間中的傅立葉級數 70
3.4.1 標準正交系 70
3.4.2 傅立葉級數及其收斂性 72
3.4.3 可分希爾伯特空間的模型 76
習題三 78
第四章 線性泛函與線性運算元 81
4.1 線性連續泛函與共軛空間 81
4.1.1 線性泛函的概念及例子 81
4.1.2 共軛空間 83
4.1.3 幾個具體空間上線性連續泛函的一般形式 85
4.1.4 希爾伯特空間中線性連續泛函的表示 88
4.2 線性泛函的延拓 90
4.2.1 延拓定理及推論 90
4.2.2 延拓定理的幾點套用 93
4.3 線性有界運算元 96
4.3.1 定義及例子 96
4.3.2 線性有界運算元空間 99
4.3.3 運算元乘法及逆運算元 103
4.4 線性運算元的基本定理 105
4.4.1 逆運算元定理 105
4.4.2 閉圖象定理 107
4.4.3 共鳴定理 109
4.4.4 套用舉例 110
4.5 強收斂、弱收斂與一致收斂 114
4.5.1 賦范空間中點列的強收斂與弱收斂 114
4.5.2 運算元序列的各種收斂性 117
4.6 共軛運算元與自共軛運算元 118
4.6.1 特例 118
4.6.2 賦范空間中的共軛運算元 119
4.6.3 希爾伯特空間中的自共軛運算元 124
習題四 128
第五章 不動點定理與最佳逼近 132
5.1 壓縮映射原理 132
5.1.1 巴拿赫不動點定理及其推論 132
5.1.2 巴拿赫不動點定理的套用 134
5.2 緊凸集上的不動點定理 140
5.2.1 凸集 140
5.2.2 勃勞威爾不動點定理 143
5.2.3 紹德爾(Schauder)不動點定理 144
5.3 最佳逼近 148
5.3.1 線性賦范空間中的最佳逼近 149
5.3.2 希爾伯特空間中的最佳逼近 156
習題五 159
第六章 線性運算元譜論初步 161
6.1 線性運算元譜的概念與性質 161
6.1.1 基本概念 161
6.1.2 線性有界運算元譜的基本性質 165
6.2 自共軛運算元的譜 168
6.2.1 有界自共軛運算元譜的性質 168
6.2.2 全連續自共軛線性運算元的特徵展開 171
6.2.3 具有對稱核的積分方程 176
習題六 179
第七章 抽象空間的微積分 180
7.1 抽象函式的微積分 180
7.2 導運算元 183
7.2.1 弗里歇導運算元 183
7.2.2 加脫導運算元 188
7.3 高階導運算元 192
7.3.1 n重線性運算元 192
7.3.2 高階導運算元 194
7.3.3 泰勒公式 195
7.4 隱函式定理 197
7.4.1 隱函式存在定理 197
7.4.2 隱函式的可微性定理 199
7.4.3 舉例 200
7.5 泛函極值問題 202
7.5.1 泛函極值的必要條件 202
7.5.2 泛函極值的充分條件 204
7.5.3 條件極值問題 206
習題七 208
附錄 部分習題參考解答或提示 210
參考文獻 232
