天平問題(scales problem)是一種趣味組合計數問題。設有重量分別為a1克，a2克，…，ak克的k個砝碼，ai(i=1，2，…，k)均為整數，今要在天平上衡量重為n克的重物，問有多少種不同衡重方法?“天平問題”在數字遊戲和智力競賽中經常遇到，這類問題種類繁多，構思精巧，解法獨特，對發展智力、嘏煉意志有很好的推動作用。“天平問題”主要有：天平挑次品類、天平一邊放砝碼類和天平兩邊放砝碼類等。
基本介紹
- 中文名：天平問題
- 外文名：scales problem
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：組合計數問題
基本介紹,例題解析,
基本介紹
天平問題：設有重量分別為a1克，a2克，…，ak克的k個砝碼，ai(i=1，2，…，k)均為整數，今要在天平上衡量重為n克的重物，問有多少種不同衡重方法?
若規定砝碼只能加在天平一端，則不同方式總數An的計數生成函式是
若規定砝碼可加在天平兩端，則不同方式總數Bn的計數生成函式
例如a1=1克，a2=3克，a3=4克，a4=6克，則n=6克的不同方式B6有4種，這裡砝碼放法〈天平左端，天平右端〉是：〈n，6〉，〈n+1，3+4〉，〈n+1+3，4+6〉和〈n+4，1+3+6〉，其中n表示重6克的物體。
例題解析
【例1】2002年1月1日，歐元正式在歐元區12國流通。瑋瑋的爸爸從法國帶回9枚歐元硬幣，由於製造的原因，其中有一枚是次品，質量稍微小一點，現在給你一架天平，至少稱幾次才能把它找出來？
分析與解 先把這9枚歐元硬幣任意平均分成三堆，每堆各3枚，把其中的兩堆分剮放在天平的左右兩盤中，若天平平衡，說明次品在未放到天平的那一堆中；若天平不平衡，說明次品在質量較小的一個盤子中。接著將混有次品的3枚歐元硬幣平均分成三堆，並將其中的兩堆分別放在天平的兩邊再稱一次，若天平平衡，說明次品在未放到天平的那一堆中；若天平不平衡，說明次品在質量較小的一個盤子中。因此至少要稱2次。
技巧點撥 如果是許多物品里混有一件次品，關鍵是將所有物品任意地平均分威三堆，取其中兩堆放在天平左右盤裡看是否平衡，確定有次品的一堆。再重複上面的操作，直到每堆一件，然後將三件中任意兩件放在天平左右盤裡看是否平衡即可挑出哪一件是次品。
【例2】18個外表一樣的球，有8克和7克兩種質量，現在用一台天平來測定每種球各幾個。先取兩個球，天平的兩邊各放一個，結果天平不平衡。就拿這兩個球作標準，將餘下的16個球分成8對，用天平與這對標準球逐一比較，結果3對質量較大，4對質量較小，1對與標準球質量一樣。那么這18個球的總質量是多少克？
分析與解 第一次稱的兩個球，天平不平衡，就知道1個是8克，1個是7克，作為標準的一對球，質量之和是8+7=15（克）。比標準球質量大的一時球，一定是兩個8克的球，質量和是16克l比標準球質量小的一對球，一定是兩個7克的球，質量和是14克；與標準球質量一樣的一對球質量是15克。因此，18個球的質量是：
16×3+14×4+15×2=134(克)
【例3】小明家買回100個鵪鶉蛋，每袋裝10個。其中9隻袋裡裝的鵪鶉蛋，每個都是10克。另外一袋裝的每個都是9克。這十袋混在一起，只準用天平稱一次，你能找出其中一袋裝的每個都是9克的鵪鶉蛋嗎？
分析與解 把十袋鵪鶉蛋依次編號，從第一袋內取1個，第二袋內取2個，第三袋內取3個……第十袋內取10個，放在一起稱，那么共有鵪鶉蛋1+2+3+…+10=55（個）。如果每個鵪鶉蛋都是10克，55個鵪鶉蛋應是550克，從少的質量中就能找到裝9克的鵝鶉蛋袋。若少1克，就是第一袋，若少5克，就是第五袋…
技巧點撥 如果是許多袋（箱或盒）中混有一袋（箱或盒）次品且只準稱一次，可以將，分別取1個、2個、3個……n個，再求出(1+2+3+…+n)個的質量和即可挑出次品。
【例4】在天平的一端放砝碼，另一端放物體，若要稱出1～60克之間所有質量為整數的物體的質量，最少應該準備多少個什麼樣的砝碼？
分析與解 要想稱出1克物體，必須有1克砝碼；再有一個2克砝碼，就可以稱出2克、3克的物體；第三個砝碼應該是3+1=4（克），這三個砝碼又能稱出1～7克7種質量；第四個砝碼應是7+1=8（克），這四個砝碼能稱出1- 15克的不同質量的物體；第五個砝碼是15 +1=16（克），這五個砝碼能稱出1~31克的不同質量的物體；第六個砝碼是31+1= 32（克），這樣，就能稱出1~63克的不同質量的物體。
所以，要稱出1～60克之間各種不同質量的物體，至少應準備1克、2克、4克、8克、16克、32克六種砝碼各一個。
【例5】有7克、2克砝碼各一個，天平一架，如何只用這些物品三次將140克的鹽分成50克、90克各一份？
分析與解 （1）把2克的砝碼放在天平左端，分鹽於天平兩端直至平衡，此時，左端鹽的質量為69克，右端鹽的質量為71克；(2)取下天平左端的砝碼換上7克的砝碼，左端的質量為69+7=76（克），右端的質量為71克，從左端取出5克鹽後，兩端平衡，速時左端尚餘64克鹽，取下天平兩端物品;(3)用剛才稱出的5克鹽當做“砝碼”，與2克、7克砝碼合成14克砝碼，從64克鹽中取出14克，恰好剩下50克鹽，則其餘鹽的質量就是90克。
技巧點撥 砝碼稱質量是常見的數學問題。不管是挑選次品，還是藉助砝碼稱物體重量，都要進行周全的考慮，可以採用簡單的方法發現規律，在“排除”借用”的策略中找到解決問題的思路。
