“大集問題”就是大集的存在問題，所謂“大集定理”就是要證明它存在的充要條件。陸家羲用遞歸法證明了以下的大集定理：如果v≡1,3(mod6)，v>7和v∉{141，283，501，789，1501，2365}，則D(v)=v-2，已有人編成了大集定理的算法程式，在計算機上予以驗證，大集定理的結論是完全正確的。
基本介紹
- 中文名：大集定理
- 所屬學科：數學（組合學）
- 簡介：證明大集問題存在的充要條件
- 著名人物：陸家羲
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基本介紹
早在1853年，瑞十數學家斯坦納(Steiner)在研究四次曲線的二重切線時遇到了一種(vu，3，1)區組設計，這就是所謂斯坦納三元系。區組設計研究對數字通訊理論、快速變換、有限幾何等領域顯示出重要的作用。而斯坦納三元系在區組設計理論中具有基本的重要意義，個數達到v-2，且滿足某一充要條件的諸斯坦納三元系組成的集叫大集，所謂“大集問題”就是大集的存在問題；所謂“大集定理”就是要證明它存在的充要條件。
1979年至1981年，我國組合數學工作者陸家羲創造性地利用前人的成果，巧妙地設計了一系列遞歸構造，用六篇論文、五十多個定理和引理證明了大集定理。
如果v≡1,3(mod6)，v>7和v∉{141，283，501，789，1501，2365}，則D(v)=v-2。
陸家曦與大集問題
自大集問題問世130多年來，許多數學家被大集問題所吸引，並為之絞盡腦汁，付出巨大的勞動，但是所得結果還是零零碎碎的。1981年5月號的《組合論雜誌》上載文稱：“這個問題離完全解決還很遙遠。”
十一屆三中全會之後，改革開放的春風吹到塞外鋼城，陸家曦開始了一生中最緊張的階段。他白天教課，晚上搞科研，翻開他1979年12月的日記，31天中競有21天記著：“夜工作”、“夜補課”、“夜寫論文”、“夜思考Bays猜想”和“夜打英文稿”等。每逢春節，他總是讓妻子帶著孩子去岳母家過年，而自己卻在大街小巷徹夜的鞭炮聲中遨遊在數學王國里。
妻子雖然支持丈夫的科研，但也擔心他的健康，便勸他每天晚飯後去散步，熬夜最晚不要超過12點，但是他研究的是數學難題，一旦思路展開便不好隨便收場，因此常常不得不違反妻子的規定，只顧拚命地工作，從1979年2 月24日到7月20日，陸家曦先後向《數學學報》投寄了三篇論文，其中一篇“可分解平衡不完全區組設計的存在性理論”發表在1984年第4期《數學學報》上，這是他在國內雜誌上發表的第一篇論文，也是最後一篇論文，發表時他已去世9個多月。
1979年10月，陸家曦的科研又取得了重大突破，他在寄給國際權威雜誌《組合論雜誌》的信中，預告了自己已經基本解決了“不相交斯坦納三元系大集”，該雜誌的回信稱：“如果屬實，將是一個重要的結果。”又說：“這個問題世界上許多專家都在研究，但離完全解決還十分遙遠。”他們沒有料到，這個問題卻被一個中國的中學物理教師基本上解決了。
1981年9月18日起，《組合論雜誌》陸續收到陸家曦題為“論不相交斯坦納三元系大集”的系列文章，西方的組合論專家們驚訝了，加拿大著名數學家、多倫多大學教授門德爾遜說：“這是二十多年來組合設計中的重大成就之一。”加拿大多倫多大學校長斯特蘭格威(D.W.Strangway)致包頭九中校長的信中說：“親愛的先生：門德爾遜教授說：包頭九中的陸家曦是聞名西方的從事組合理論的數學家，並且說，有必要應同意把他調到大學崗位，他要我告訴你們：這樣的調動對發展中國的數學具有重要的作用，而且希望所表達的意願能獲許可，你的真誠的D.W.Strangway.1983年9月30日，”我國的組合數學專家們組成的“陸家曦學術工作評審委員會”在1984年9月15日所作的評價是：
“……陸家曦同志獨創地引進了AD，AD*，AD**，LD和LD*等輔助設計及有關大集LAD1，LAD2和LAD3，創造性地利用了前人的結果，巧妙地設計了一系列的遞歸構造，嚴謹地證明了互不相交的v階斯坦納三元系的大集，除了六個值外，對所有v≡1或3(mod 6)，v>7都存在，從而宣告了這一問題的整體解決（關於例外值，他已有腹稿，但在寫作過程中便不幸逝世了，僅留下一份提綱和部分結果）。眾所周知，1960年，博斯(Bose)等證明了當t>1時，關於4t+2階正交拉丁方的歐拉猜想不成立；1961年Hanai給出並證明了k=3和4的（b，v，r，k，λ）設計存在的充要條件，這是區組設計理論中的兩大舉世聞名的成就，陸家曦關於大集的成果可以與上述兩大成就相媲美，並將同它們一起載入組合數學的史冊。”
縱觀古今數學定理的證明，視對象之不同，既有蔚為大觀的鴻篇巨製，也不乏短小精悍的精煉之作，而以高屋建瓴的氣概，依據獨創的55個定理和引理，用100個印刷頁、10萬字的篇幅來證明一個定理，實屬罕見，堪稱一項大型工程。陸家曦的證明是創造性的，這正符合我國古算傳統的祖訓遺風，這是東方數學的特點和光榮。
