《大規模線性方程組的稀疏近似逆預處理方法及套用》是依託清華大學，由賈仲孝擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：大規模線性方程組的稀疏近似逆預處理方法及套用
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：賈仲孝
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
學術界自上世紀90年代中期已形成共識，大規模稀疏線性方程組有效數值求解的關鍵是對問題進行合理的預處理，有效地構造預處理子比選擇或開發Krylov子空間方法更為重要。預處理技術分為兩類，一類是面向特殊問題構造特殊的預處理子，這需要對連續問題、離散化細節、係數矩陣的性質了解很多，因此不容易做到，不一定可行，而且特殊的預處理只能用於範圍很窄的問題。另一類是普適性儘可能廣的純代數預處理技術，它們只利用係數矩陣本身設計預處理方法。這類方法的代表有不完全分解預處理和稀疏近似逆預處理兩大類。前者高度串列，研究相對成熟，但對於非對稱性強、不定等問題，其存在性、穩定性、預處理的有效性等方面存在固有缺陷。稀疏近似逆預處理能較好地克服這些缺陷，近20年一直是研究熱點之一，但理論和算法相對不成熟，有很大的拓展空間。本項目針對該課題存在的多方面問題開展研究，提出新算法，及對多個已有算法進行改進，增強魯棒性和普適性。
結題摘要
大規模稀疏線性方程組的有效數值求解是大規模科學計算中的核心問題之一，其關鍵是對問題進行預處理，高效構造有效的構造預處理子比選擇或開發Krylov子空間方法更為重要。預處理技術分為兩類，一類是面向特殊問題構造特殊的預處理子，這需要對連續問題、離散化細節、係數矩陣的性質有深入了解，缺點是特殊的預處理只能用於範圍很窄的問題。另一類是普適性儘可能廣的純代數預處理技術，它們只利用係數矩陣本身設計預處理方法預處理技術的代表方法有不完全分解預處理和稀疏近似逆預處理兩大類。前者高度串列，研究相對成熟，但對於非對稱性強、不定等問題，其存在性、穩定性、預處理的有效性等方面存在固有缺陷。稀疏近似逆預處理能較好地克服這些缺陷，20年來一直是研究熱點之一，但理論和算法相對不成熟。本項目針對該課題存在的多方面問題開展了研究，提出了有效的新算法，對多個已有的算法進行了改進，增強魯棒性和普適性。我們用大量的來自於套用中的實際問題對提出和改進的算法進行了廣泛的佐證。項目同時對有廣泛和重要套用背景的大規模二次特徵值問題、大規模M-矩陣和非負矩陣的特徵值問題、大規模矩陣函式的計算問題、大規模線性離散不適定問題的理論和數值解法開展了深入系統的研究。在這些問題的研究上取得了一系列重要的理論結果，取得了本質性的突破，豐富和發展了相關問題的數學理論；根據所建立的理論結果，對上述特徵值問題和矩陣函式的計算問題分別提出了數值求解方法，開發出有效的實用算法；發現求解離散不適定問題的一些最常用疊代法的基本理論有很大的欠缺，對方法的本質存在許多模糊甚至錯誤的認識，對一些關鍵問題數十年來一直沒有任何結果，項目對其中一些問題進行了研究，得到了初步而重要的理論結果，澄清了學術界一些誤解。在以上各個問題上均完成了研究論文，七篇論文發表在Numerische Mathematik, Journal of Computational and Applied Mathematics, Numerical Linear Algebra with Applications, Numerical Algorithms, Science China Mathematics, Taiwanese Journal of Mathematics等國際頂尖或著名、知名雜誌上，Google檢索他引18篇次，SCI檢索他引9篇次。
