大波數Helmholtz方程新型、高效積分方程解法的研究

《大波數Helmholtz方程新型、高效積分方程解法的研究》是依託中南大學，由向淑晃擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：大波數Helmholtz方程新型、高效積分方程解法的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：向淑晃
• 依託單位：中南大學

項目摘要

大波數Helmholtz方程的數值計算在數學、物理、工程領域有著廣泛而重要的套用，是科學計算領域非常重要、被公認為難的國際熱點研究課題，存在許多挑戰性問題亟待解決。本項目集中研究大波數Helmholtz方程的高效積分方程解法，其與傳統方法的區別在於：第一，針對Galerkin、配置法等離散格式中的（Hilbert變換、對數奇異、高階奇異）高振盪積分,發展新型、高效的積分算法，而非傳統的Gauss、Clenshaw-Curtis或Nystr?m等算法（當波數很大時，這些傳統算法的計算效率極低、計算精度較差）；第二，強調大波數問題解的漸進分析，針對其漸進性分析,構造混合方法中基於正交多項式等的高振盪混合基函式的逼近。基於這些理論與算法分析，結合（譜）Galerkin、配置、Filon方法，構建出大波數問題的新型、高精度的高效積分方程解法。

結題摘要

項目針對具有廣泛套用背景的大波數Helmholtz方程，集中研究了其高效數值積分方程解法。針對傳統Galerkin、配置法等離散格式產生的含對數奇異、Hilbert、高階奇異的高振盪積分發展快速高效數值積分格式，分析其關於波數的漸進性，並根據漸進性分析構造混合方法的高振盪基函式逼近。克服了傳統的Gauss、Clenshaw-Curtis、Nyström等算法對高振盪問題的計算複雜性高、計算精度差等缺陷,一些算法可套用於醫療圖像、電磁散射反問題中Volterra積分方程的研究,解決了一般Jacobi點多項式插值的最優階估計以及Hermite-Fejer重心插值格式的快速計算，推動了古典數值分析理論的發展。研究結果發表於SIAM J. Numer. Math.、SIAM J. Sci. Comput.、Math. Prog.等頂級期刊，已發表標註基金資助SCI論文23篇。