多項式除法

除法的一種類型，俗稱「長除」。適用於整式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中運用了乘法和減法。是代數中的一種算法，用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。是常見算數技巧長除法的一個推廣版本。它可以很容易地手算，因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。

基本介紹

• 中文名：多項式除法
• 外文名：Polynomial division
• 屬性：多項式
• 性質：算法
• 多項式：除以多項式一般用豎式進行演算

一般步驟

多項式除以多項式一般用豎式進行演算：

（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，並把所缺的項用零補齊．

（2）用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項．

（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項，把不相等的項結合起來．

（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止,被除式=除式×商式+餘式。若餘式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除

多項式除法示例

舉例

計算

把被除式、除式按某個字母作降冪排列，並把所缺的項用零補齊，寫成以下這種形式：

然後商和餘數可以這樣計算：

1. 將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數最高的項，此處為x）。結果寫在橫線之上(x³ ÷ x = x²).
2. 將分母乘以剛得到結果（最終商的第一項），乘積寫在分子前兩項之下（同類項對齊） (x²·(x−1) = x³−x²).
3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積（消去相等項，把不相等的項結合起來），結果寫在下面。(x³−(x³−x²) =x²)然後，將分子的下一項“拿下來”。
4. 把減得的差當作新的被除式，重複前三步（直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止．被除式=除式×商式+餘式 ）
5. 重複第四步。這次沒什麼可以“拿下來”了。

橫線之上的多項式即為商，而剩下的 (這個例子中沒有) 就是餘數。

算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形，即所有 x 被替換為10的情形。

整除

如果一個多項式除以另一個多項式，餘式為零，就說這個多項式能被另一個多項式整除

套用

多項式的因式分解

有時某個多項式的一或多個根已知，可能是使用有理根定理（Rational root theorem） 得到的。如果一個次多項式 的一個根已知，那么可以使用多項式長除法因式分解為的形式，其中是一個次的多項式。簡單來說，就是長除法的商，而又知是的一個根、餘式必定為零。

相似地，如果不止一個根是已知的，比如已知和這兩個，那么可以先從中除掉線性因子得到，再從中除掉 ，以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子。

使用這種方法，有時超過四次的多項式的所有根都可以求得，雖然這並不總是可能的。例如，如果 有理根定理（Rational root theorem）可以用來求得一個五次方程的一個（比例）根，它就可以被除掉以得到一個四次商式；然後使用四次方程求根的顯式公式求得剩餘的根。

尋找多項式的切線

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。^[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)² 的餘式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x)，不論 r 是否是 P(x) 的根。