多項式分布（Multinomial Distribution）是二項式分布的推廣。
二項分布的典型例子是扔硬幣，硬幣正面朝上機率為p, 重複扔n次硬幣，k次為正面的機率即為一個二項分布機率。把二項分布公式推廣至多種狀態，就得到了多項分布。
基本介紹
- 中文名：多項分布
- 外文名：Multinomial Distribution
- 源於：二項式分布的推廣
- 所屬領域：數理科學
- 研究對象：隨機變數
- 標記：X～PN(N：p1．p2，…，pn)
定義,舉例,公式套用,機率公式,套用,
定義
如果一個隨機向量X=(X1，X2，…，Xn)滿足下列條件：
(1)Xi≥0(1≤i≤n)，且X1+X2+…+Xn=N；
(2)設m1，m2，…，mn為任意非負整數，且m1+m2+…+mn=N，則事件
{X1=m1，X2=m2，…，Xn=mn)的機率為
則稱隨機向量X=(X1，X2，…，Xn)服從多項分布，記作X～PN(N：p1．p2，…，pn)。
多項分布是二項分布的推廣。在一座大城市中，若男性在總人口中的比例為p，今從
城市中隨機抽N個人，用X表示其中男性的數目，則X～B(N，p)、，類似地，在一座城市
中，若將人口按照年齡分成n組，這n組人在總人口中各占的比例分別為p1，p2，…，
組的人數，則X=(X1，X2，…，Xn)服從多項分布。
舉例
更一般性的問題會問：“點數1~6的出現次數分別為(x1,x2,x3,x4,x5,x6)時的機率是多少？其中sum(x1~x6）= n”。這就是一個多項式分布。
把二項擴展為多項就得到了多項分布。比如扔骰子，不同於扔硬幣，骰子有6個面對應6個不同的點數，這樣單次每個點數朝上的機率都是1/6（對應p1~p6，它們的值不一定都是1/6，只要和為1且互斥即可，比如一個形狀不規則的骰子），重複扔n次，如果問有x次都是點數6朝上的機率就是：
。更一般性的問題會問：“點數1~6的出現次數分別為(x1,x2,x3,x4,x5,x6)時的機率是多少？其中sum(x1~x6）= n”。這就是一個多項式分布問題。這時只需用上邊公式思想累乘約減就會得到下面圖1的機率公式。
某隨機實驗如果有k個可能結局A1、A2、…、Ak，分別將他們的出現次數記為隨機變數X1、X2、…、Xk，它們的機率分布分別是p1，p2，…，pk，那么在n次採樣的總結果中，A1出現n1次、A2出現n2次、…、Ak出現nk次的這種事件的出現機率P有下面公式：
用另一種形式寫為：
公式套用
機率公式
這就是多項分布的機率公式。把它稱為多項式分布顯然是因為它是一種特殊的多項式展開式的通項。
如果各個單獨事件的出現機率p1，p2，…，pk都相等，即p1=p2=…=pk=p（注意這裡是小寫的p），注意到p1+p2+…+pk =1，就得到p1= p2 =…=pk =p=1/k。把這個值代入多項式的展開式，就使展開式的各個項的合計值滿足下式：
∑[ N!/(n1!n2!…nk!)](1/k)^N=1
即 ∑[ N!/(n1!n2!…nk!)]=k^N
以上求和中遍及各個ni的一切可能取的正整數值，但是要求各個ni的合計值等於N。即 n1+n2+…nk=N.
套用
用於處理一次實驗有多個可能的結果的情況。
