多物種測度值馬氏過程的編碼及性質的研究

《多物種測度值馬氏過程的編碼及性質的研究》是依託南京大學，由劉榮麗擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：多物種測度值馬氏過程的編碼及性質的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉榮麗
• 依託單位：南京大學

項目摘要

本項目的主要目的是從機率直觀的角度出發,套用機率和分析相結合的方法,研究多物種分支過程的編碼過程和多物種測度值馬氏過程的性質。具體地說，本項目主要研究下面三方面的內容：（1）. 研究多物種分支過程的隨機遊動編碼，並研究該編碼過程的套用和加權極限問題，進而建立連續狀態多物種分支過程和多維 Levy 過程的對應關係，並通過這種關係，研究這兩類過程的性質；（2）. 套用超過程 Levy 蛇描述的思想，研究多物種超過程和多物種分支Levy過程支撐集的性質，定義分支Levy 過程的首達過程，並探索首達過程在相關偏微分方程的行波解問題中的套用；（3）. 利用測度的鞅變換方法，研究在時間趨於無窮時，下臨界或臨界多物種超過程趨於0的速度。 問題（1）的研究是 BGW分支過程的隨機遊動編碼到高維情形的拓展；問題（2）的研究可以給出偏微分方程問題的機率解法的幾個實例；問題（3）的研究將大大豐富超過程的極限理論。

結題摘要

本項目的從機率直觀的角度出發,套用機率和分析相結合的方法,研究了多物種分枝過程的編碼過程及其套用，希望最終實現用Levy 蛇刻畫對多物種測度值分枝過程。本項目主要得到下面結果：(i).將一維Ballot 定理推廣到多維情形，得到了多維Ballot 定理。(ii).完善了多物種分枝過程的隨機遊動編碼過程；用d個獨立的d維隨機遊動編碼了d物種的分枝過程。得到該編碼的一種停止時刻向量組是一個由d 維方程組的最小解，而且它是對應分枝樹中各類粒子的總數。套用多維Ballot 定理，項目組給出了d 物種分枝樹中各類粒子總數的分布的顯式表達。(iii)用高維Ballot 定理重新證明了Lagrange-Good反公式；利用機率的方法計算了很多給定條件的有色樹的個數。其中給定後代種類的粒子個數的無標記森林的個數的計算，據項目組所知是本項目首次提出的，其它計數結果雖然已經存在，但本項目給出了一種新的機率的證明方法。 (iv). 利用測度的鞅變換方法，得到了多物種分枝過程的極限性質的一些結果並對一些非線性偏微分方程的解有了一些新的認識。 前三個問題的研究將 BGW分枝過程的隨機遊動編碼推廣到高維情形；第四個問題的研究可以給出偏微分方程問題的機率解法的幾個實例，並豐富分枝過程滅絕性質的理論。