增量理論

增量理論指的是由於材料在進入塑性狀態時的非線性性質和塑性變形的不可恢復的特點，因此須研究應力增量和應變增量之間的關係。

基本介紹

• 中文名：增量理論
• 外文名：incremental theory
• 釋義：材料在進入塑性狀態的性質
• 研究對象：應力增量和應變增量之間的關係
• 學科：材料學

內容簡介

增量理論系相對全量理論而言的，由於材料在進入塑性狀態時的非線性性質和塑性變形的不可恢復的特點，因此須研究應力增量和應變增量之間的關係，這就是所謂的增量理論。對彈塑性體，只有在簡單載入的條件下，才能建立應力和應變全量之間的關係(本構方程)，但在一般塑性變形條件下，我們只能建立兩者增量之間的關係。用增量形式表示的本構關係，一般統稱之為增量理論或流動理論。
增量理論不受載入條件的限制，在理論上較全量理論優越。但在實際運用時，須按載入過程中變形路徑進行積分，因此較複雜。在歷史上，增量理論發展較全量理論為早，這也是很自然的，因為根據彈塑性材料的應力應變非線性關係，首先想到的應該是在增量之間建立聯繫，但又因為實際計算困難，便發展為對載入條件予以限制而提出全量理論。

塑性增量理論套用條件的探討

塑性力學的根本目的就是研究塑性變形體內的應力與應變，以確定適當的壓力加工工步和合理的坯料尺寸，獲得優質的工件。正確地選用應力應變之間的關係(本構方程)是求解塑變體內應力場與應變場的先決條件。塑性力學中常用的本構關係是增量理論，其中主要包括列維一密席斯方程和普朗特一勞斯方程。關於勞斯方程和密席斯方程在彈塑性材料中的套用範圍觀點不一：有的認為勞斯方程適用於複雜載入下的理想彈塑性材料，有的認為其普遍適用於彈塑性材料，而密席斯方程在彈性變形可以忽略的情況下是普遍適用的。

（1）理想彈塑性材料在簡單載入條件下塑性變形時，質點的應力狀態不變，彈性應變張量不變。

（2）勞斯方程適用於複雜載入條件下的理想彈塑性材料以及任意載入條件下的彈塑性硬化材料；密席斯方程不僅適用於剛塑性材料，而且適用於簡單載入條件的理想彈性材料。

對經典塑性力學增量理論的再認識

研究背景

經典塑性力學中的增量理論是描述材料在塑性狀態時應力與應變速度或應變增量之間關係的理論。塑性應力應變關係的重要特點是它的非線性性和不單一性，所謂非線性性是指應力應變不是線性關係，所謂不單一性是指應變不能由應力確定。由於這一點，描述塑性變形的方程式原則上不能由應力分量和應變分量的有限關係式相聯繫(就象在Hoke定律的關係式中那樣)，而必需是微分關係式。以微分形式表示的增量理論是經典塑性力學應力應變關係的最具普適性的形式，它不象全量理論形式的應力應變關係只適用於簡單載入的情況，而是既適用於簡單載入又適用於複雜載入。因此增量理論在經典塑性力學中具有十分重要的意義和地位。

但經典塑性力學中的增量理論，實際上是被建立在不同的假設基礎之上。例如Levy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論是建立在根據複雜應力狀態下有應力Lode參數與塑性應變增量Lode參數近似相等的實驗結果而提出的“塑性應變增量的分量與相應的應力偏量的分量成比例的假設基礎之上。如果忽略彈性變形不計，則得到Levy-Mises理論，若計及彈性變形則得到Prandtl-Reuss理論。經典塑性力學中的塑性位勢理論，則或者是類比於彈性位勢理論，假設也存在著一個塑性位勢函式，從而得到所謂非關聯流動法則型增量理論；或者是根據Drucker假設從而得到與屈服條件相關聯的流動法則型增量理論。顯然，在塑性力學中如此重要的增量理論，被建立在一些不同的假設基礎之上，不能認為是一件令人滿意的事情。

研究從最小耗能率原理閉出發，在塑性變形是變形過程中耗能機制的條件下導出了增量理論的一般表達式，並且證明了經典塑性力學中的Levy-Mises理論、Prandtl-Reuss理論、非關聯流動法則和與屈服條件相關聯的流動法則型增量理論，都可以看作是上述增量理論一般表達式的特例。以上事實表明，經典塑性力學中的增量理論，可以按照一種理性的方式而不是根據假設來建立，這將使增量理論更趨完善。

最小耗能率原理

參考文獻證明了線上性非平衡態條件下的“任何耗能過程都將在與其相應的約束條件下，以最小耗能的方式進行”這一重要結論，並把它命名為最小耗能率原理。該原理與文獻中所謂的最小能耗率原理的根本區別在於：文獻認為只有當系統處於穩定態(即耗能率與時間無關的情況下，系統的耗能率才取與施加於該系統的約束條件相適應的最小值。而文獻的結論則是對整個耗能過程而言的，即在整個耗能過程的任意時刻(不論此刻系統耗能率是否已達到穩定態)，系統都將在與其相應的約束條件下，取當時所有可能耗能率的最小值。可以認為文獻鬧提出的最小耗能率原理，揭示了線性非平衡系統中耗能過程的一般規律。按Prigogine學派的觀點，通常只把化學反應型非平衡態作為非線性非平衡態。因此可以認為文獻提出的最小耗能率原理，適用於除化學反應型非平衡態之外的一切非平衡態耗能過程。

經典塑性力學由在實驗基礎上提出的某些簡化的理論模型假設出發，雖然得到了某些與實際相符的增量理論結果，但卻沒能闡明問題的物理本質。例如，在非關聯流動法則型增量理論中，塑性勢究竟是什麼，它具有什麼物理意義?又例如對與屈服條件相關聯的流動法則型增量理論而言，塑性應變增量矢與屈服面正交的所謂正交法則假設是否具有普遍性(即在一些更複雜情況下類比於正交法則假設而提出的廣義正交法則假設是否正確)等這樣一些涉及物理本質的問題，經典理論是無法回答的。但按本文的理論，以上問題的答案是十分明顯的。因為材料發生耗能時必須滿足的約束條件，這就是說，經典理論中的塑性勢實際上就是耗能的約束函式。另外，只有當材料耗能率表達式是位勢函式時正交法則假設才會成立。是否就是屈服條件，正交法則都成立。順便指出，雖然在只考慮塑性變形一種耗能機制時約束條件通常就是屈服條件，但若需考慮塑性損傷耗能等其它耗能機制時，則與之相應的耗能過程所應滿足的約束條件就會不同於屈服條件了。

耗能率與相應的約束條件通過最小耗能率原理聯繫在一起，由此引出的極值條件就是塑性增量理論的一般形式。經典塑性力學中的各種增量理論都僅僅是上述一般形式在某些特定條件下的結果。因此，上述極值條件實際上就是建立經典塑性力學中各種形式增量理論的共同物理基礎。此外，因為上述極值條件實際上是一個關於比的一階偏微分方程組，這又為我們提供了一個可以從另一角度去理解為什麼在一般情況下，塑性本構關係必需採用微分形式的途徑。

研究結論

研究從最小耗能率原理出發，導出了經典塑性力學中建立在不同假設基礎之上的各種增量理論的結果，這似乎有些令人感到奇怪，但是如果考慮到塑性變形過程實際上就是一個耗能過程，並且這個耗能過程只有在滿足某些必要的約束條件的情況下才會發生和發展，那么從最小耗能率原理出發可以導出現有的各種增量理論的結果，就顯得十分自然和可以接受了。事實上，對本文所討論的情況而言，可以認為塑性變形率是產生塑性耗能率的根本原因，因此塑性變形率與塑性耗能率密切相關。而以耗能率表示的耗能過程是否能夠發生和發展，又與所受到的約束條件緊密相關，因此塑性變形率與約束條件之間肯定存在著某種聯繫，經典塑性力學中的塑性位勢理論，實際上就是反映上述聯繫的數學表達式在φ為位勢函式條件下的一個特例。

考慮到當將其中的約束條件取為Mises屈服條件時，即可由塑性位勢理論得到導出Levy一Mises理論和Prendtl一Reuss理論的基本假設。因此可以說經典塑性力學中的各種增量理論，與本文介紹的由最小耗能率原理導出的增量理論是一致不悖的。它們的不同之處僅在於後者是用一種完全理性的方式，在一個統一的理論框架下按同一模式建立的，具有普遍意義的一般性理論。而經典塑性力學中的增量理論，則是建立在不同假設基礎之上，並且僅僅是上述一般性理論的某些特例。