《基於能量變分導數的偏微分方程的時空自適應方法》是依託北京師範大學，由張爭茹擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於能量變分導數的偏微分方程的時空自適應方法
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：張爭茹
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在材料科學中很多的數學模型是基於某種能量泛函的變分問題而建立的偏微分方程，例如Cahn-Hilliard相場模型，相場晶體模型，分子束外延模型等。這類問題有些共同的特點：在初始階段能量下降比較快，然後逐漸變得下降緩慢直至最後達到穩定狀態；狀態變數需要經過很長時間的發展才能達到最後的穩定狀態；局部具有奇性或者幾乎奇異的結構可能會出現，其中可能出現複雜形狀的界面。為此本項目將對時間步長和空間格線分布提出自適應算法，在時間上根據相應的能量泛函關於時間的變化率自動生成合適的時間步長，這樣既能抓住迅速變化的中間過程又能準確得到最後的穩定狀態，可以在保持計算精度的同時提高計算效率。在空間上，我們根據解的奇異情況來分布格線點，在奇性大的地方聚集相對較多的格線點，在其他解比較光滑的地方分布較少的格線點，這樣可以用有限的格線點實現最合理的分布，時間和空間上的自適應方法相結合，必定會大大提高計算效率。
結題摘要
在本項目中，我們針對一類基於某種能量泛函的變分問題而建立的數學模型，例如Cahn-Hilliard相場模型，相場晶體模型，分子束外延模型等，提出了時間步長自適應的方法。根據相應的能量泛函關於時間的變化率自動生成合適的時間步長，這樣既能抓住迅速變化的中間過程又能準確得到最後的穩定狀態，可以在保持計算精度的同時提高計算效率。極具挑戰性的工作是，我們將能量泛函的凸分裂方法推廣到二元的能量泛函上，並且成功分析和計算了帶有表面活性劑的二元流體的模型，其中所提出差分格式解的存在唯一性和穩定性也做出了嚴格的理論分析，驗證了時間步長自適應方法對多元能量泛函的情形依然是有效的。此外，我們用能量泛函建模的方法研究了熱敏水凝膠問題和建立了非均勻納米棒狀複合材料的水動力理論，其中還考慮了耦合Smoluchowski輸運方程，其計算結果預測到若干合理的流變學特性。本項目提出的能量建模方法和凸分裂的絕對穩定格式以及自適應計算方法對於基於多元泛函的梯度流類的問題是非常有效的。
