垂直定理：1.在同一平面內，過一點（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直。
2.直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短。（簡稱直垂線段最短）
基本介紹
- 中文名：垂線公理
- 套用學科：數學幾何
- 適用領域範圍：套用數學
- 概述：垂線段最短
定理1證明,定理2證明,
定理1證明
證明：當C在直線上時，作CD⊥AB，CD'⊥AB，不妨設CD在CD'的左邊，則∠D'CB在∠DCB的內部。
∴∠D'CB<∠DCB
而∵CD⊥AB，CD'⊥AB
∴∠DCB=∠D'CB=90°，小的等於大的，這是不可能的事情。
∴假設不成立，即當C在AB上時，有且只有一條直線CD與AB垂直。
當C在直線外時，作CD⊥AB，CD'⊥AB，垂足分別為D、D'。
則∠CDB=∠CD'A=90°
根據同旁內角互補，兩直線平行可知，CD∥CD'，這和CD與CD'交於C矛盾。
∴假設不成立，即當C在直線外時，有且只有一條直線CD與AB垂直。
這樣就證明了，無論C是否AB上，命題都成立。
定理2證明
已知直線AB和直線外一點C。作CD⊥AB，垂足為D。連線C與AB上異於D的任意一點E，求證CD<CE。
證明：由定理的第一部分可知CD是唯一的垂線段，那么C、D、E就構成了以∠CDE為直角的Rt△CDE。
由三角形內角和定理可知，△CDE內沒有比∠CDE更大的角
∴∠CDE>∠CED
大角對大邊，因此CE>CD
由E的任意性可知對於任一異於D的E，都有CD<CE，即垂線段最短。
