基本介紹
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簡介
地圖數學基礎是地圖上確定地理要素分布位置和幾何精度的數學基礎。包括：
①坐標網。即控制製圖資料轉繪精度和方便用圖的坐標格線。古代以計里畫方格線作為製圖網，近代主要用地理坐標網和直角坐標網。地理坐標網是按照一定投影方法，將地球橢球面上的經緯線描繪在平面上的格線。因地圖投影不同，坐標網常表現為不同系統和形狀，構成有一定變形規律的經緯格線。一般在<1：20萬比例尺地形圖上都繪有經緯網，>1：10萬比例尺圖上，圖廓間繪有分度帶，用以確定點位的地理坐標；
②比例尺。表示地圖圖形縮小程度。通常繪注在地圖上的為主比例尺，只有某些線或點符合比例尺。一般大比例尺地圖，內容較詳，幾何精度高，可用於圖上量測，小比例尺地圖，內容概括，不宜於圖上量測；
③大地控制網。將地球上的自然表面轉移到橢球面上，並使地圖上的地理要素對於坐標網具有正確的位置。包括平面控制網和高程控制網，前者作為平面位置的基本控制，由三角測量或導線測量方法建立，大地點的大地坐標通過投影換算成平面直角坐標，可直接控制地形測圖；後者用水準測量方法建立，作為地形圖上高程的基本控制。比例尺愈大，要求表示控制點的種類和數量愈多；中小比例尺地圖上由於坐標網為經緯度，一般不再表示控制點。
重力等位面
可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。
地球的數學表面
在測量和製圖中就用旋轉橢球體來代替大地球體，這個旋轉橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。
它是一個規則的數學表面，所以人們視其為地球體的數學表面，也是對地球形體的二級逼近，用於測量計算的基準面。
橢球體三要素: 長軸 a（赤道半徑）、短軸 b（極半徑）和橢球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
a = 6378137m b = 6356752.3m
equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km
equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2
對地球形狀 a，b，f 測定後，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關係。即確定與局部地區大地水準面符合最好的一個地球橢球體 —— 參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。
通過數學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，並求出兩者各點間的偏差，從數學上給出對地球形狀的三級逼近—— 參考橢球體。國際上在推求年代、方法及測定的地區不同，故地球橢球體的元素值有很多種。中國1952年前採用海福特（Hayford）橢球體。
地球坐標系與大地定位
地球表面上的定位問題，是與人類的生產活動、科學研究及軍事國防等密切相關的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統的建立。
大地控制網
平面控制網和高程控制網的總稱，又稱大地網。平面控制網一般指三角網和精密導線網。它採用三角測量或精密導線測量方法建立，並配合進行天文測量和重力測量,將觀測結果歸算到參考橢球面上,計算各三角點或精密導線點(簡稱大地點)的大地坐標，作為平面位置的基本控制。大地點的大地坐標通過投影換算成平面直角坐標，可以直接控制測圖。高程控制網指水準網和三角高程網。它用水準測量方法建立，測定各水準點距大地水準面的高程，作為高程的基本控制。所以大地控制網能保證將地球的自然表面轉移到參考橢球面上，並使地圖上的地理要素對於坐標網具有正確的位置。
地理坐標
用經緯度表示地麵點位的球面坐標。
① 天文經緯度：
表示地麵點在大地水準面上的位置，用天文經度和天文緯度表示。
天文經度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。
天文緯度： 在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。
② 大地經緯度：
表示地麵點在參考橢球面上的位置，用大地經度 、大地緯度和大地高表示。
大地經度 ：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經為正，西經為負。
大地緯度 ：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。
③ 地心經緯度：
即以地球橢球體質量中心為基點，地心經度同大地經度，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角。
在大地測量學中，常以天文經緯度定義地理坐標。
在地圖學中，以大地經緯度定義地理坐標。
在地理學研究及地圖學的小比例尺製圖中，通常將橢球體當成正球體看，採用地心經緯度。
坐標網
控制製圖資料轉繪精度和方便用圖的格網，以在地圖上確定點位、方向和距離。有地理坐標網和直角坐標網兩種。地理坐標網是按照一定的地圖投影方法，將地球橢球面上的經線和緯線描繪在平面上，所構成的有一定變形規律的經緯線網，它依一定的經緯度間隔繪出，並註明經緯度數值，用於確定點位的地理坐標，故又稱製圖網。直角坐標網一般是垂直和平行某種投影的中央經線的方格線網，注有公里數，用於確定點位的平面直角坐標，故也叫公里網。
大地坐標系統
1.中國的大地坐標系
中國1952年前採用海福特（Hayford）橢球體 ；
1953—1980年採用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯玻爾可夫天文台） ；
自1980年開始採用 GRS 1975（國際大地測量與地球物理學聯合會 IUGG 1975 推薦）新參考橢球體系，並確定陝西涇陽縣永樂鎮北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。
2.中國的大地控制網
由平面控制網和高程控制網組成，控制點遍布全國各地。
平面控制網 : 按統一規範，由精確測定地理坐標的地麵點組成，由三角測量或導線測量完成，依精度不同，分為四等。
高程控制網 : 按統一規範，由精確測定高程的地麵點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。
中國高程起算面是黃海平均海水面。
1956年在青島觀象山設立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據此推算，稱為1956年黃海高程系。
1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》，其比《黃海平均海水面》上升29毫米。
地圖投影的基本知識
基本介紹
地圖投影是地圖學重要組成部分之一，是構成地圖的數學基礎，在地圖學中的地位是相當重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產生、發展、直到現在，已有一千多年的歷史，研究的領域也相當廣泛，實際上它已經形成了一門獨立的學科。
我們學習投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性質和特點以及他們的變形分布規律，從而能夠正確的辨認使用各種常用的投影。
研究各種投影的變形規律是通過把投影后的經緯線網與地球儀上經緯線格線比較而實現的。地球儀是地球的真實縮小。通過比較就會發現地球儀上的經緯網形狀與投影后經緯網的形狀是不相同的。為了研究變形，首
地球儀上經緯網的特點
1.地球儀上所有經線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其餘都是小圓，並且從赤道向兩極越來越小，極地成為一點。
2.經線表示南北方向；緯線表示東西方向。
3.經線和緯線是相互垂直的。
4.緯差相等的經線弧長相等；同一條緯線上經差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經差相等的緯線弧長不等，而是從赤道向兩極逐漸縮小的。
5.同一緯度帶內，經差相同的經緯線格線面積相等，不同緯度帶內，格線面積不等，同一經度帶內，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。
地圖的比例尺
比例尺
地圖上的線段長度與實地相應線段長度之比。它表示地圖圖形的縮小程度，又稱縮尺。如1:10萬，即圖上1厘米長度相當於實地1000米。嚴格地講,只有在表示小範圍的大比例尺地圖上，由於不考慮地球的曲率，全圖比例尺才是一致的。對於一般的地圖，因投影所產生的變形，各處比例尺並不完全一致。通常繪注在地圖上的比例尺，稱為主比例尺。主比例尺是進行地圖投影時地球橢球體縮小的比例。在地圖上，只有某些線或點符合主比例尺，其他各處的比例尺均大於或小於主比例尺。比例尺與地圖內容的詳細程度和精度有關。一般講，大比例尺地圖，內容詳細，幾何精度高，可用於圖上測量。小比例尺地圖，內容概括性強，不宜於進行圖上測量。
地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應直線水平投影長度之比。
根據地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：
主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。
局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。
地圖比例尺的表示
① 數字式比例尺 如 1:10 000
② 文字式比例尺 如 百萬分之一
③ 圖解式比例尺
直線比例尺
斜分比例尺也稱微分比例尺，是依據相似三角形原理製成的圖解比例尺。使量測精度達到三位數（10-3）。
複式比例尺
④ 特殊比例尺
變比例尺
無級別比例尺
投影變形
長度比和長度變形
長度比:投影面上一微小線段ds’（變形橢圓半徑）和球面上相應微小線段ds（球面上微小圓半徑，已按規定的比例縮小）之比。用公式表示為：
μ=ds’/ds
長度比是一個變數，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。
通常研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經緯線成直交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比。投影后經緯線不直交，其夾角為θ,則經緯線長度比 m、n和最大、最小長度比a、b之間具有如下關係：根據解析幾何中阿波隆尼亞定理
m2+n2=a2+b2
m·n·sinθ=a·b
用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是長度比（μ）與1之差，用表v示長度變形則：v=μ-1
由此可知，長度變形有正負之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。
面積比和面積變形
面積比:投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應的微小面積（微小圓面積）dF之比。以投影面上變形橢圓的面積dF’=abπ,相應球面上微小圓的面積dF=12π為例，以P表示面積比，則：
P=dF’/dF=abπ/π=ab
上式說明面積比等於主方向長度比的乘積。若經緯線方向就是主方向時：
P=mn
若經緯線方向不是主方向時，則面積比
P=mnsinθ(θ為投影后經緯線夾角)
面積比是個變數，它隨點位置不同而變化。
面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。
Vp=p-1
面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。
角度變形
角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。過一點可以做許多方向線，每兩條方向線均可以組成一個角度，這些角度投影到平面上之後，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產生的變形一般也不一樣。
主比例尺和局部比例尺
地圖上註記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪製經緯線網時，首先把地球橢球體按規定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而後將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由於投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大於或小於主比例尺的叫局部比例尺。
注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區別。
5.等變形線
在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。並且各不同點的變形數量常常是不一樣的，為了便於觀察和了解繪製區域變形的分布。常用等變形線來表示製圖區域的變形分布特徵。等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據計算的各種變形的數值（如p,w）繪於經緯線格線內的，如面積等變形線。
等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。等變形線通
