基礎數學也叫純粹數學，專門研究數學本身的內部規律。中國小課本里介紹的代數、幾何、微積分、機率論知識，都屬於純粹數學。純粹數學的一個顯著特點，就是暫時撇開具體內容，以純粹形式研究事物的數量關係和空間形式。
基本介紹
簡介,發展,開始,數和多項式方程及相關的數學分支,形與幾何、拓撲,線、面積、速度等和微積分、分析數學,套用,具體運用舉例,局,
簡介
數學的第一大類。它按照數學內部的需要，或未來可能的套用，對數學結構本身的內在規律進行研究，而並不要求同解決其他學科的實際問題有直接的聯繫。
數學的第二大類。它著重套用數學工具去解決工作、生活中的實際問題。在解決問題的過程中，所用的數學工具就是基礎數學。
我們把從國小到大學所學的數學學科稱之為基礎數學。數學本就是基礎學科，基礎數學更是基礎中的基礎。它的研究領域寬泛，理論性強。主要是指幾何、代數（包括數論）、拓撲、分析、方程學以及在此基礎上發展起來的一些數學分支學科，具體的分支方向包括：射影微分幾何、黎曼幾何、整體微分幾何、調和分析及其套用、小波分析、偏微分方程、套用微分方程、代數學等。
發展
開始
形是容易感知的，我們一睜開眼睛就會看到各種各樣形狀的物體。數卻是一個抽象的概念，但其形成也有很長歷史了。據考證和研究，人類在洞穴時代就已有數的概念了，若干動物也有數的概念。剛開始時，實際的需要產生了加法、減法、乘法、除法等運算，長度、面積等概念。到公元前3000年，數學的套用範圍就很廣了，如稅收、建築、天文等。數學從理論上系統研究始於古希臘人，在公元前600年至公元前300年期間，代表人物有畢達哥拉斯、歐幾里得等。歐幾里得的《幾何原理》採用公理化體系系統整理了古希臘人的數學成就，2000多年來一直是數學領域的教科書，其體系、數學理論的表述方式和書中體現的思維方式對數學乃至科學的發展影響深遠。
數和多項式方程及相關的數學分支
我們認識數學基本上都是從數開始的，然後是簡單的幾何與多項式方程。數中間有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數學家和業餘愛好者。多項式方程是從實際問題和數的研究中自然產生的。在對數和多項式方程的認識和探究過程中，代數、數論、組合、代數幾何等數學分支逐步產生。
素數
素數有無窮多個，在《幾何原理》中有一個優美的證明。素數是數學永恆的研究對象，而且是最難以琢磨的數學研究對象，很多最為深刻的數學都與素數(或其複雜的其他形式如素理想等)有關。我們熟知的孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，如今仍未解決，當前最好的結果是陳景潤的。但奇數哥德巴赫猜想由維諾格拉多夫於1937年基本解決。哈代一利特伍德猜想是比孿生素數猜想更為複雜的猜想。
對於素數在自然數中的比例，有著名的素數定理，曾是勒讓德的猜想(1808年)，阿達瑪和德拉瓦勒一普森最先分別證明該定理(1896年)。1949年賽爾伯格和厄爾迪斯分別給出素數定理的初等證明。這是賽爾伯格獲1950年菲爾茲獎的重要工作之一。2004年陶哲軒和本·格林合作證明了存在任意長的等差素數數列。這項工作極大地激發了人們對解析數論的新熱情，也是陶獲2006年菲爾茲獎的重要工作之一。
多項式方程和代數幾何
我們已經看到解方程，哪怕是一個一元的或簡單的二元方程，都不是容易的事情，其研究給數學已經而且還要帶來巨大的發展。多項式方程組的求解顯然更為困難，甚至一般說來是毫無希望的。我們需要換一個角度，把一組多項式方程的零點集看作一個整體，就會得到一個幾何空間，稱為簇。研究簇的數學分支就是代數幾何，一個龐大深刻又極富活力的分支。代數幾何的蹤跡可以追溯到公元前，17世紀笛卡爾建立的解析幾何可以看作是代數幾何的先聲。
代數幾何的中心問題是對代數簇分類。但這個問題太大太難，現階段尚無希望完全解決，人們只能從不同的角度考慮更弱的問題。一維的情形是代數曲線，其分類很容易，在19世紀就知道光滑的射影曲線可以用它們的虧格來分類，這時還有著名的黎曼一洛赫定理。大約在1885—1935年期間，代數幾何史上著名的義大利學派對二維的情形研究了分類，也得到了二維隋形的黎曼一洛赫定理。義大利學派的特點是幾何直觀思想豐富深刻，後期的工作嚴格性不足。後來，上個世紀四五十年代韋伊和查里斯基用新的語言嚴格表述代數幾何的基礎。小平邦彥和沙法列維奇及其學生在上個世紀60年代重新整理了代數曲面的分類。小平在代數幾何和複流形上的工作十分有影響，早在1954年，他就獲得菲爾茲獎，沙法列維奇在代數數論和代數幾何上都做出重要的貢獻，有著名的沙法列維奇猜想，如今未解決。
曼福德和龐比利在上個世紀六七十年代把義大利學派對曲面的分類工作做到了特徵p域上。曼福德在代數幾何方面的貢獻是多方面的，構造了給定虧格的曲線的模空間、幾何不變數的研究等，因為這些貢獻，他於1974年獲菲爾茲獎。龐比利則因其在解析數論、代數幾何和分析數學上的傑出工作於1974年獲菲爾茲獎。三維情形的分類直到上個世紀80年代才由日本數學家森重文完成，他因此於1990年獲菲爾茲獎。如何把這些分類的工作推廣到高維的情形是非常活躍的研究方向。
一元高次方程和群論
人們很早就會解一元一次和一元二次方程，一元三次和四次方程的公式解在16世紀被找到。在嘗試得到更高次方程的根式解時，數學家的探索失敗了，其中包括18世紀一流數學家拉格朗日。答案原來是否定：1824年挪威數學家阿貝爾證明了五次及更高次的方程一般沒有根式解。稍後法國數學家伽羅華給出的證明影響深遠，一個重要的數學分支，群論因此而誕生。我們可以簡單說一下伽羅華的證明。5個人排隊的排法有120種，一種排法按另一種方法重排就會產生第三種排法，於是這120種排法成為一個群，而且是不可解的，所以五次及更高次的方程一般沒有根式解。
群論的影響幾乎遍及整個數學，在物理、化學及材料科學中有很多套用，是研究對稱的基本工具。1872年克萊因提出著名的埃爾朗根綱領，用群來分類和刻畫幾何，對幾何發展影響巨大。拓撲學中同調群和同倫群是極重要的研究工具和研究對象。代數幾何中阿貝爾簇是一類特別重要的幾何對象。很多空間具有一些自然的群作用，從而可以作相應的商空間。這些商空間在幾何、數論和表示論中極其重要。齊性空間和志村簇是其中兩類例子，幾何不變數則是一個有關的重要數學分支。群論自身的研究同樣是非常深刻的。上世紀一項偉大的數學成就是對有限單群的分類。這是一項龐大的工作，第一個證明主要的工作發表於1960—1983年期間，前後有100多位數學家參與，發表了數百篇論文，總長度超過10000頁。到2004年，群論專家完成第二個證明，總長度也達到5 000頁。如今，他們正試圖進一步簡化。湯普森因其在單群分類中的傑出工作於1974年獲菲爾茲獎。
形與幾何、拓撲
最簡單的形無疑是線段、直線、多邊形、多面體、圓、球、橢圓、拋物線、雙曲線等，它們也是幾何與拓撲的起點，人類很早就研究它們了。我們做一個簡單的遊戲：多邊形的頂點的個數等於邊的個數，多面體的面的個數加上頂點的個數等於棱的個數加2。後一個等式稱為歐拉公式，雖然並不是歐拉最早發現的。這些公式被認為是拓撲學的起源。拓撲學研究幾何空間的整體性質，就是說那些在連續變形下不變的性質，是數學的主流分支，在數學的其他分支和物理中的套用極其廣泛，有時是研究一些問題必不可少的工具，如廣義相對論中的一般性的時空奇點定理就是彭羅斯把拓撲學引入廣義相對論而證明的。
如果把多面體的稜角磨平，再整理一下，我們就得到球了。歐拉公式本質上是說球面的歐拉示性數等於2。一個幾何空間的歐拉示性數是通過空間的同調群定義的。球面當然是一個光滑的曲面。對於一般的光滑曲面，有高斯一伯內特公式，它把歐拉示性數和曲面的曲率聯繫起來，從而把微分幾何與拓撲聯繫起來，非常深刻，對以後數學的發展影響很大。上世紀40年代，阿冷多爾費爾和韋伊把它推廣到高維的情形。陳省身對高維情形的高斯一伯內特公式的證明則是整體微分幾何的一個開端，影響深遠。
球面帶來的深刻數學還很多。1956年，米爾諾發現七維球面上有非標準的微分結構。這一發現對拓撲學的發展影響很大，是米爾諾最有名的工作，也是他1962年獲菲爾茲獎的主要工作之一。六維球面是否有復結構則是困擾數學家很多年的一個問題，如今未解決。球面的同倫群也是拓撲學研究的重要問題，今未完全解決。上世紀50年代初，塞爾成功計算了球面的很多同倫群，這是他獲1954年菲爾茲獎的重要工作之一。同倫群如今仍是拓撲學研究的一個主要方向。
在幾何與拓撲中，一個基本問題是對流形分類。流形有各種各樣的，如拓撲流形、微分流形、複流形、黎曼流形、辛流形、無窮維流形，等等，這裡面的問題和結果都是非常豐富的。閉二維拓撲流形是曲面，其分類很早就知道，結果很漂亮：同構類由曲面的虧格完全確定。曲面的虧格就是曲面所圍的空洞的個數，如汽車輪胎是虧格為一的曲面，它只圍了一個空洞。三維流形的研究中，瑟斯頓的工作非常重要，他發現雙曲幾何在三維流形的研究中起突出的作用。瑟斯頓提出的幾何化猜想是比龐加萊三維球面猜想更廣泛的猜想，後與龐加萊猜想一起得到證明。瑟斯頓因其在三維流形上的開創性工作獲得1982年的菲爾茲獎。
線、面積、速度等和微積分、分析數學
我們會求一些簡單圖形如多邊形、圓等的面積，也會求圓的切線，但對更複雜的圖形，這就不是一件容易的事情了。在物理中，對於非勻速運動，求加速度和路程同樣不是一件容易的事情。對這些問題的探索最後導致牛頓和萊布尼茲在17世紀分別獨立建立了微積分。用微積分我們能輕易求出一些複雜圖形的面積、體積，確定物體的加速度、路程的精確值等等。微積分及在其上發展起來的分析數學成為認識和探索世界奧秘最有力的數學工具之一，為數學帶來全面的大發展，促進了很多新分支的產生如解析數論、實分析、複分析、調和分析、微分幾何、微分方程等等。
微積分的基本概念有極限、微分和積分，分析數學的基本研究對象是函式。1927年物理學家狄拉克在研究量子力學時引進了一個函式，它不是經典意義下的函式，給當時的數學家帶來很大的困惑。許瓦茨建立的分布理論使得函式變得容易理解並能嚴格處理，他因此獲1950年的菲爾茲獎。分布理論在現代偏微分方程理論中極其重要。
正弦函式和餘弦函式都是周期函式。傅立葉認為它們是描述周期運動的基本函式並在19世紀初建立了相應的理論，現稱為傅立葉分析。傅立葉分析及其更一般的理論調和分析是內容非常豐富且套用很廣泛的數學分支。如果注意到正弦和餘弦函式可以看作圓周上的函式並把單位圓周與模長為一的複數等同起來，就知道傅立葉分析與李群表示論是密切相關的。卡爾松因其在調和分析上的重要工作於1992年獲沃爾夫獎，特別是他理清了函式與其傅立葉級數表示的關係。陶哲軒在調和分析上的工作也是他獲菲爾茲獎的工作的一部分。李群和拓撲群上的調和分析是一個重要的分支，與泛函分析密切相關，在數論中的深刻套用使人驚嘆。
大自然很多的奧秘是通過微分方程表述的，描寫電磁運動的麥克斯韋方程，描寫微觀世界的薛丁格方程，描寫流體運動的納維爾一斯托克斯方程，描寫巨觀世界的愛因斯坦方程等等。這些方程都是非線性微分方程，有很多人研究，納維爾一斯托克斯方程是否有整體光滑解則是克雷數學研究所的千禧年問題之一。
線上性偏微分方程上，赫曼德的工作可能是最深刻和突出的，他因此獲得1962年的菲爾茲獎。P．L．里翁斯在非線性方程上的傑出工作使他獲得了1994年的菲爾茲獎。丘成桐發展一些強有力的偏微分方程技巧用以解決微分幾何的一些重要問題如卡拉比猜想等，在這些工作的基礎上，幾何分析逐步發展起來。因為這些工作，丘獲得1982年的菲爾茲獎，另外，他的工作在理論物理和數學物理中有極大的影響。偏微分方程領域引人入勝的深刻問題比比皆是，一流的數學家很多，如拉克斯、卡發熱利等等。
常微分方程解的定性研究與動力系統密切相關。太陽系的運動是一個動力系統(運動和力之間關係的系統)，由萬有引力決定，所以是一個常微分方程的動力系統，龐加萊對太陽系和三體問題的研究是動力系統史上非常重要的工作。動力系統是很活躍的研究領域，其中一個研究方向是復動力系統，研究函式的疊代。約科茲因其在動力系統的傑出工作獲1994年菲爾茲獎。曼克木棱在復動力系統方面的重要工作是他獲1998年菲爾茲獎的原因之一。部分因其在動力系統方面的重要工作，斯米爾諾夫獲得2010年菲爾茲獎。研究有不變測度的動力系統的分支稱為遍歷論，與調和分析、李群及其表示、代數群、數論有密切的聯繫。林德施特勞斯因其在遍歷論中的出色工作獲得2010年的菲爾茲獎，另外馬古利斯獲1978年菲爾茲獎的工作中遍歷論起了重要的作用。
套用
基礎數學知識在經濟中的套用是源於市場經濟的發展，隨著我國市場經濟的不斷發展，用數學知識來定量分析經濟領域中的種種問題，已成為經濟學理論中一個重要的組成部分。根據分析人士的計算，從1969 年到 1998 年近 30 年間，就有19 位諾貝爾經濟學獎的獲得者是以數學作為研究的主要的方法，而這些人占了諾貝爾經濟學獎獲獎總人數的 63.3%。其原因主要是“數學”在經濟理論的分析中有著尤為重要的作用，其主要作用有以下幾點：
1、運用精煉的數學語言陳述經濟學研究中的假設前提條件，使人一目了然。
2、運用數學思維推理論證經濟學研究的主要觀點，使條理更加清晰，邏輯性更強。
3、運用大量的統計數據讓論證得出的結論更具有說服力。
具體運用舉例
經濟學中的函式
“函式”是現代數學最為基本的概念之一，是現實世界中量與量之間的依存關係在數學中的完美映襯，也是經濟數學的主要研究對象。現實世界中一切事物都在一定的空間運動著，對種種不同量的假設與推測，是許多科學理論的中心問題。在經濟分析中，對成本、價格、收益等經濟量的關係研究，就要用到基礎數學方法，來構建該問題的數學模型，找出該問題的函式關係。常用的經濟函式有：單利與複利、多次付息、貼現、需求函式、供給函式、成本函式、收入函式、利潤函式等等。
經濟學中的導數
“導數”是函式的改變數與自變數的改變數之比，在自變數改變數趨於零時的極限。它是純粹從數量方面來刻畫變化率的本質的，反映了因變數隨自變數的變化而變化的快慢程度。在經濟問題中，經常會用到變化率的概念，而變化率又分為平均變化率和瞬時變化率。平均變化率就是函式增量與自變數增量之比，就像我們經常用到的年產量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤的平均變化率等等。而瞬時變化率就是函式對自變數的導數，即當自變數增量趨於零時平均變化率的極限，在經濟學中被稱為邊際函式。經濟學中常見的邊際函式有：邊際成本、邊際收益、邊際利潤、邊際需求等等。
對於商家來說，進行邊際分析和彈性分析是非常必要的，商家如果離開邊際分析而盲目生產，就會造成資源的極大浪費；商家如果離開需求與價格的彈性分析，就不可能達到利潤的最大化。這時候就要用到導數，因為導數是邊際分析和彈性分析的最有力的工具，可以給決策者提供客觀的、精確的數據，進而做出比較合理的決策。
經濟學中的最值
在經濟問題中，我們經常會遇到這樣的問題，怎樣才能使“產品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等。這樣的問題在數學中有時會歸結為求某一函式（通常稱為目標函式）的最大值或最小值問題。例如：在分析收入最大化與利潤最大化的過程中，假定價格不變的情況下，產量最大就會形成收入最大的局面，但是，收入最大時的產量不一定產生最大的利潤。而產量為多少時才能取得最大利潤，就需要運用導數的知識來解決問題。利用導數解決最值問題的步驟是：求一階導數，找出可能取得最值的點（包括駐點、一階導數不可導的點和區間端點），再計算各點的函式值，對其進行比較，哪個最大就是最大值哪個最小就是最小值。經濟學中常見的最值問題有：最大利潤問題、最大收益問題、經濟批量問題和最大稅收問題等等。
經濟學中的微分方程
為了研究經濟變數之間的聯繫及其內在的規律，常常需要建立某一經濟函式和經濟變數的導數所滿足的關係式，由此而確定所研究的函式關係，從而根據一些已知的條件來確定該函式的表達式。以上一套套路，從數學上說，就是建立微分方程並求解微分方程。具體步驟如下：在相關的背景知識下，用數學知識來描述經濟問題中的變數和參數之間的關係，從而建立微分方程；根據具體問題適當的調整假設使建立的微分方程，儘可能地使其接近實際，這樣可以相對的減小誤差；運用已知的條件和測量的數據，對所建的微分方程中的參數給出相應的估計值；繼而分析比較方程中的結果與實際觀測之間的差異，若結果與實際情況基本一致，說明建立的微分方程符合實際問題，接下來就可以將它套用於對實際問題的進一步分析或者預測中；如果微分方程結果與實際觀測不一致，就需要重新檢查方程在哪出現了問題，以便對方程進行調整修正，再重複前面的過程直到建立出一個經檢驗符合實際問題的微分方程為止。微分方程在經濟學中的實際套用主要有：分析商品的市場價格與需求量（供給量）之間的函式關係、預測商品的銷售量、進行成本分析、淨資產分析、國民收入與儲蓄、投資的關係分析等等。
局
基礎數學是分析問題解決問題的一種方法，也是一個計算工具，它可以把實際問題抽象化。而經濟學重要的是經濟思想。基礎數學只有在經濟理論的合理框架下去研究分析問題才能發揮它的實用性。因此，基礎數學在經濟學中的套用要時刻注意以下幾點：
1、經濟學不僅僅是數學概念和數學方法的簡單疊加，不能把經濟學中的數字隨意的數學化，在分析問題、解決問題的時候要充分考慮到經濟學作為社會科學的一個分支，會受到多方面的影響（如制度、法律、道德、歷史、社會、文化等等）。
2、 經濟理論的發展要有自己獨立的研究角度，只有從經濟學的本質出發，分析、研究現實生活中的經濟規律，才能得到較為準確的結論。在此基礎上，在一定條件的假設基礎上，輔之以適合的數學方法和數學運算，才能解決實際生活中出現的一些經濟問題。
3、運用數學知識分析研究經濟學中出現的問題不是唯一的道路，數學知識也不是萬能的，它只是研究經濟問題的工具之一。要根據具體的問題，靈活地與其他學科（如物理學、醫學、生物學等領域）相結合，不要過分地依賴數學，否則會導致經濟問題研究的單一化，從而不利於經濟學的發展。
