圓系方程

圓系方程是一種特殊的方程。在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。

基本介紹

• 中文名：圓系方程
• 外文名：Circle system equation
• 舉例：半逕到直線距離的方程
• 性質：方程
• 套用：求圓方程等
• 所屬學科：數學

簡要說明

1. 共軸圓系：若⊙C₁與⊙C₂交於A、B兩點，則直線AB稱為這兩個圓的根軸。經過A、B兩點的所有的圓形成一個圓系，這圓系內任何兩個圓的根軸均為直線AB，因此稱這種圓係為共軸圓系。經過兩圓⊙C₁：x+y+D₁x+E₁y+F₁=0與⊙C₂：x+y+D₂x+E₂y+F₂=0的交點圓系方程為：x+y+D₁x+E₁y+F₁+λ（x+y+D₂x+E₂y+F₂）=0 （λ≠-1）λ=-1時，AB：（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+F₁-F₂=0表示過兩圓交點的直線，兩圓相交時，此為公共弦所在的直線；兩圓相切時，此為公切線；兩圓相離時此直線為與兩圓連心線垂直的直線。
2. 經過直線Ax+By+C=0與圓x+y+Dx+Ey+F=0的交點圓系方程：x+y+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0。
3. 同心圓系：（x-a）+（y-b）=r，這裡a，b是常數，r是參數。
4. 圓心共線的等圓系：（x-x₀）+（y-y₀）=r，當r為常數，圓心在直線ax+by+c=0上移動。

圓系方程

理解

理解：1.例題：求x+(m+1)y+m=0所過定點

解：可將原式化為x+y+m(y+1)=0

即為x+y=0；y+1=0

解得恆過點（1，-1）

由此理解到當除了x，y（為一次冪）還有一未知數m時,依然可求得一定點。

由此可聯想：當有二次方程組x+y+D1x+E1y+F1=0與x+y+D2x+E2y+F2=0便能求出兩定點。

過一已知圓與一直線的兩個交點的圓系方程為：

x+y+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0

理解2：有二次方程組x+y+D1x+E1y+F1=0 ①式

x+y+D2x+E2y+F2=0 ②式

①式+②式得x+y+D1x+E1y+F1+x+y+D2x+E2y+F2=0

此方程僅符合交點坐標（即帶入交點後成立）

加入參數λ讓方程代表恆過兩點的所有圓。

例題

例2：求過兩圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交點且面積最小的圓的方程。

分析：本題若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變數關係，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。

解：圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程為

x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0

過直線2x+2y-11=0與圓x^2+y^2=25的交點的圓系方程為

x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0

依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心(-λ,-λ)必在公共弦所在直線2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ-11=0，則λ=-11/4

代回圓系方程得所求圓方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8

總結

圓系方程的主要智慧是將參數的形態放置在圖像中。

參數不僅可在一次環境中表示一個變數，可在直角坐標系中表示一條數軸，還可讓二次圖像以一定的條件變化成無數條函式圖像。

套用

套用一：求圓方程

套用二：證明四點共圓