《國中數學奧林匹克同步教程七年級》是1993 年 北京教育出版社出版的圖書，作者是梁壽山。
基本介紹
- 作者：梁壽山 / 等
- ISBN：9787530304365
- 頁數：413
- 定價：11.00元
- 出版社：北京教育出版社
- 出版時間：1993-02
- 裝幀：平裝
作品目錄
目 錄
一 實數――數學的基礎
1.什麼樣的數叫實數？
2.為什麼說√2是無理數？
3.數軸上有表示無理數的點嗎？
4.如何證明√3是無理數？
5.為什麼奇數的平方一定是奇數？
6. 數5K―1（K為整數）除以5，餘數是幾？
7.丨α丨與α哪個大？
8.實數α，α2≥0有什麼套用？
二 變化無窮的代數式
9.（α+b）3和（α+b）4的展開式分別是什麼？
10.（α+b）5的展開式是什麼，聯繫上一個問題，
有什麼規律？
11.什麼叫做代數式的恆等變形？
12.如何用α、β的和與積表示關於α、β的對稱
式？
13.若α、b、c均為實數，α2+b2+c2―ab―ac一bc
會是負數嗎？
14.如何判斷關於x的多項式是否含因式x―α？
15.對多項式進行因式分解時，怎樣就算“分完”
了？
16.換元法在因式分解中有什麼套用？
17.什麼叫做待定係數法？
18.待定係數法在因式分解中有什麼套用？
19.怎樣把繁分式較快地化簡？
20.錯在哪裡？
21.如何識別同類根式？
三 方程的理論、解法和套用
22.一元一次方程一定有一解嗎？
23.怎樣解含字母係數的一元一次方程？
24.一個二元一次方程有幾組解？為什麼？
25.二元一次方程組的解有幾種情況？
26.公式變形可以看作解方程嗎？
27.解一元二次方程只會用公式法行嗎？
28.解方程（3x十1）（x―1）=（2x+3）（x―1）
時，為什麼不能約去（x―1）？
29.解分式方程為什麼要驗根？怎樣驗根？
30.解一元二次方程為什麼不必驗根？
31.解無理方程為什麼必須驗根？
32.解字母係數的一元二次方程要注意什麼？
33.如果知道一元二次方程的兩個根能確定方程
嗎？
34.為什麼要研究一元二次方程的根的判別式？
35.一元二次方程根的判別式為什麼能判別實根
的情況？
36.可化為一元二次方程的分式方程的實根情況
如何判斷？
37.怎樣判別有一個二元一次方程的二元二次方
程組的實解情況？
38.一元二次方程判別式等於0時，為什麼不說有
一個實根，而強調有兩個相等實根？
39.有一個一次方程的二元二次方程組什麼時候
會出現增解？怎樣避免？
40.二元二次方程組有哪些常見類型？基本解法
是什麼？
41.用解一元二次方程的方法能解其它方程嗎？
42.含絕對值符號的方程怎么解？
44.什麼是不定方程？怎么解？
45.不定方程有什麼套用？
46.“秦王暗點兵”是怎么回事？能用方程解嗎？
47.有一個公共根的兩個一元二次方程有什麼關
系？
48.怎么解一元二次方程中有一個公根的問題？
49.一元二次方程中根與係數的關係是怎么推出
來的？
50.一元二次方程的根與係數關係有什麼套用？
51.不解方程，怎樣判斷一元二次方程的實根的
正負？
52.根與係數關係的公式只有一元二次方程有
嗎？
53.一元一次方程的套用題有什麼特點？
54.解套用題時列方程好，還是列方程組好？
55.列代數方程解的簡單套用題主要有哪些類
型？
56.關於數的問題怎么列方程？
57.平面幾何中的圖形問題能用方程解嗎？
58.什麼是增長率？有關增長率的套用題怎么
解？
59.關於濃度的套用問題怎么布列方程？
60.“相遇”和“追及”問題所列方程有什麼區
別？
61.“時鐘”問題怎么解？
四 初等數學的核心――函式
62.為什麼要引入平面直角坐標系？
63.什麼是函式概念的三要素？
64.怎樣確定函式中自變數的取值範圍？
65.怎樣表示函式？
66.什麼是分段函式？
67.怎樣畫函式的圖象？
70.二次函式解析式常用形式有幾種？
71.如何確定二次函式解析式？
72.怎樣計算拋物線在x軸上截得的弦長？
73.拋物線y=αx2怎樣變換為拋物線
y=αx2十bx十c？
74.係數α、b、c的取值怎樣影響拋物線
y=ax2+bx+c的形狀及位置？
75.怎樣求二次函式y=ax2十bx十c的最大值或
最小值？
76.當自變數x的取值範圍不是全體實數時，怎
樣求函式y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值
或最小值？
77.怎樣解求二次函式最大值或最小值的套用
題？
78.當函式解析式中含有字母係數時，你會對字
母進行討論嗎？
79.當函式解析式中含有絕對值符號時，怎樣畫
出它的圖象？
80.怎樣確定拋物線y=ax2十bx十c與直線
y=kx+m的位置關係？
81.你會利用函式圖象來解某些有關方程或不等
式的問題嗎？
五 套用廣泛的不等式
82.國中階段應掌握不等式的哪些性質？
83.如何解一元一次不等式？
84.如何解不等式組？
85.如何解一元二次不等式？
86.一元二次不等式有何套用？
87.如何解形如 的分式不等式？
88.怎樣確定ax2+bx+c的符號？
89.二次三項式ax2+bx+c的值的符號在解不等
式中有什麼套用？
90.如何解某些高次不等式？
91.不等式丨x丨0）的解集是什麼？
92.a>0時，為什麼有丨x丨<a←→x2<a2，
丨x丨>a←→x2>a2。有什麼套用？
93.如何解含絕對值的不等式？
94.解不等式在根式中有什麼套用？
95.解不等式在研究方程中有什麼套用？
96.解不等式在函式中有什麼套用？
六 簡潔的指數式
97.指數式在運算中有什麼套用？
98.當m、n均為有理數時，（am）n=amn對嗎？
99.為什麼零的零指數冪沒有意義？
100.為什麼零的負指數冪沒有意義？
七 三角函式的廣泛套用
101.怎樣理解三角函式的定義？
102.0°～180°角的三角函式有哪些性質？
103.應掌握的三角函式關係式有哪些？
104.怎樣利用誘導公式解決計算問題？
105.已知角α的一個三角函式值，怎樣求其它各
三角函式值
106.怎樣利用同角三角函式關係式解決求值問
題？
107.已知sinα、cosα的值，能確定sinα+cosα和
sinα―cosα的值嗎？
108.怎樣證明三角恆等式？
109.在解三角題過程中，你是否對符號問題給以
了足夠的重視？
110.在三角中怎樣用換元法解題？
111.由cosA・cosB・cosC乘積的符號能判斷△ABC
的形狀嗎？
112.怎樣證明正弦定理？
113.怎樣利用正弦定理解斜三角形？
114.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，怎樣
解三角形？
115.什麼情況下可利用餘弦定理解三角形？
116.你會判斷這些三角形的形狀嗎？
117.怎樣求船和燈塔的距離？
118.你會利用測角器和皮尺測出氣球的高嗎？
119.在三角形中，三條邊長的比等於三個角的
比嗎？
120.如何求三角式的最大值和最小值？
八 圖形的基礎――相交線與平行線
121.平面幾何是一門什麼學科？為什麼要學習平
面幾何？
122.什麼是線段、射線、直線？如何表示？
123.幾何課本中為什麼要介紹兩種角的定義？用
什麼方法來表示角較好？
124.度量角的單位是什麼？度、分、秒如何互
化？
125.怎么正確區分互余和互補的概念？
126.什麼是對頂角？對頂角為什麼相等？
127.怎樣區別相交、斜線、互相垂直、垂線、垂
足、點到直線的距離的含義？
128.“三線八角”是指哪三條線？哪八個角？
129.怎樣套用平行線的判定方法來證題？
130.命題與定理有什麼聯繫和區別？
131.如何著手證明題？
132.怎樣恰當套用角平分線的三種表示法？
九 三角形的性質
133.如何找全等三角形的對應邊和對應角？
134.判定兩個三角形全等有幾種方法？為什麼角、
角、角與邊、邊、角不能判定兩個三角形
全等？
135.怎樣正確運用等腰三角形的性質定理和判
定定理？
136.三角形邊角不等關係證明的思路方法是什
么？
137.如何解文字型的幾何題？
138.如何作含有多個條件、多個結論的命題的
逆命題？
139.軸對稱圖形與中心對稱圖形有什麼區別和
聯繫？
140.套用基本作圖如何解有關作圖題？
141.三角形中經常添的是哪些輔助線？
142.添輔助線財應注意什麼？
143.如何證三角形三條邊上的垂直平分線交於
一點？
144.如何證三角形三條角平分線交於一點？
145.如何證明三角形三條邊上的高交於一點？
十 四邊形的特點及相互關係
146.如何推導多邊形的內角和與外角和？
147.怎樣計算多邊形對角線的條數？
148.怎樣掌握平行四邊形的性質和判定方法？
149.證明一個四邊形是矩形有幾種途徑？
150.證明一個四邊形是菱形有幾種途徑？
151.正方形有什麼特點？如何判定？
152.等腰梯形的性質是什麼？怎樣判定？
153.梯形常用的輔助線有哪些？
154.如何套用三角形、梯形的中位線有關性質
來解題？
155.如何證明線段相等？
156.如何證明角相等？
157.如何證明線段與角的和、差、倍分關係？
158.如何證明線段與角的不等問題？
159.在平面幾何中應該掌握的基本圖形有哪些？
160.三角形及四邊形的面積公式是什麼？等積變
形的作圖如何進行？
十一 相似理論及相似形
161.你會設“K”嗎？
162.為什麼要重視平行線分線段成比例定理的
學習？
163.你會“轉移”比例嗎？――平行線分線段成
比例定理的重要套用。
164.三角形內 （外）角平分線性質定理的證明
給了我們什麼啟示？
165.三角形角平分線性質定理的套用？
166.如何判定兩個三角形相似？――平行線與相
似三角形。
167.如何判定兩個三角形相似？――相交線與相
似三角形。
168.如何判定兩個三角形相似？――旋轉與相似
三角形。
169.射影定理有哪些主要用途？
170.三角形中的三條中線為什麼交於一點和如
何證明重心定理？
171什麼是同一法？
172.怎樣證明線段成比例？
173.你能用三角形的面積公式證明線段成比例
嗎？
174.你會證明1/a+1/b=1/c型的問題嗎？
175.如何利用線段成比例證明線段相等？
176相似三角形與角相等有什麼關係？
十二 與圓相關的概念與證明
177.垂徑定理的逆定理有多少？
178.AB=CD的含義是什麼？
179.怎樣證明與圓有關的不等關係？
180.哪些角與圓有關及怎樣套用？
181.反證法在幾何中如何套用？
182.怎樣證明四點共圓？（一）
183.怎樣證明四點共圓？（二）
184.四點共圓有哪些套用？
185.直線和圓的位置關係的定理及其逆定理為
什麼能用等價符號，即“←→”？
186.怎樣判定直線和圓相切？
187.相交弦定理、切割線定理及其推論有無內
在聯繫？
188.怎樣證明與圓有關的線段成比例（一）？――
基礎題的證明思路
189.怎樣證明與圓有關的線段成比例（二）？一一
較複雜題的證明思路
190.什麼樣的四邊形有內切圓？
191.如何判定圓與圓的位置關係？
192.什麼是定值與最值問題？
十三 正多邊形計算、作圖及其它
193.正多邊形外接圓半徑與邊長、邊心距 ・之
間有什麼關係？
194.什麼是“倍邊公式”及怎樣套用？
195.正五邊形作圓應該怎樣證明？
196.什麼是代數作圖法？
197.命題的四種形式及其關係是什麼？
198.怎樣判定互為逆否命題是等價命題？
199.怎樣求軌跡？
200.什麼是交軌法作圖？
一 實數――數學的基礎
1.什麼樣的數叫實數？
2.為什麼說√2是無理數？
3.數軸上有表示無理數的點嗎？
4.如何證明√3是無理數？
5.為什麼奇數的平方一定是奇數？
6. 數5K―1（K為整數）除以5，餘數是幾？
7.丨α丨與α哪個大？
8.實數α，α2≥0有什麼套用？
二 變化無窮的代數式
9.（α+b）3和（α+b）4的展開式分別是什麼？
10.（α+b）5的展開式是什麼，聯繫上一個問題，
有什麼規律？
11.什麼叫做代數式的恆等變形？
12.如何用α、β的和與積表示關於α、β的對稱
式？
13.若α、b、c均為實數，α2+b2+c2―ab―ac一bc
會是負數嗎？
14.如何判斷關於x的多項式是否含因式x―α？
15.對多項式進行因式分解時，怎樣就算“分完”
了？
16.換元法在因式分解中有什麼套用？
17.什麼叫做待定係數法？
18.待定係數法在因式分解中有什麼套用？
19.怎樣把繁分式較快地化簡？
20.錯在哪裡？
21.如何識別同類根式？
三 方程的理論、解法和套用
22.一元一次方程一定有一解嗎？
23.怎樣解含字母係數的一元一次方程？
24.一個二元一次方程有幾組解？為什麼？
25.二元一次方程組的解有幾種情況？
26.公式變形可以看作解方程嗎？
27.解一元二次方程只會用公式法行嗎？
28.解方程（3x十1）（x―1）=（2x+3）（x―1）
時，為什麼不能約去（x―1）？
29.解分式方程為什麼要驗根？怎樣驗根？
30.解一元二次方程為什麼不必驗根？
31.解無理方程為什麼必須驗根？
32.解字母係數的一元二次方程要注意什麼？
33.如果知道一元二次方程的兩個根能確定方程
嗎？
34.為什麼要研究一元二次方程的根的判別式？
35.一元二次方程根的判別式為什麼能判別實根
的情況？
36.可化為一元二次方程的分式方程的實根情況
如何判斷？
37.怎樣判別有一個二元一次方程的二元二次方
程組的實解情況？
38.一元二次方程判別式等於0時，為什麼不說有
一個實根，而強調有兩個相等實根？
39.有一個一次方程的二元二次方程組什麼時候
會出現增解？怎樣避免？
40.二元二次方程組有哪些常見類型？基本解法
是什麼？
41.用解一元二次方程的方法能解其它方程嗎？
42.含絕對值符號的方程怎么解？
44.什麼是不定方程？怎么解？
45.不定方程有什麼套用？
46.“秦王暗點兵”是怎么回事？能用方程解嗎？
47.有一個公共根的兩個一元二次方程有什麼關
系？
48.怎么解一元二次方程中有一個公根的問題？
49.一元二次方程中根與係數的關係是怎么推出
來的？
50.一元二次方程的根與係數關係有什麼套用？
51.不解方程，怎樣判斷一元二次方程的實根的
正負？
52.根與係數關係的公式只有一元二次方程有
嗎？
53.一元一次方程的套用題有什麼特點？
54.解套用題時列方程好，還是列方程組好？
55.列代數方程解的簡單套用題主要有哪些類
型？
56.關於數的問題怎么列方程？
57.平面幾何中的圖形問題能用方程解嗎？
58.什麼是增長率？有關增長率的套用題怎么
解？
59.關於濃度的套用問題怎么布列方程？
60.“相遇”和“追及”問題所列方程有什麼區
別？
61.“時鐘”問題怎么解？
四 初等數學的核心――函式
62.為什麼要引入平面直角坐標系？
63.什麼是函式概念的三要素？
64.怎樣確定函式中自變數的取值範圍？
65.怎樣表示函式？
66.什麼是分段函式？
67.怎樣畫函式的圖象？
70.二次函式解析式常用形式有幾種？
71.如何確定二次函式解析式？
72.怎樣計算拋物線在x軸上截得的弦長？
73.拋物線y=αx2怎樣變換為拋物線
y=αx2十bx十c？
74.係數α、b、c的取值怎樣影響拋物線
y=ax2+bx+c的形狀及位置？
75.怎樣求二次函式y=ax2十bx十c的最大值或
最小值？
76.當自變數x的取值範圍不是全體實數時，怎
樣求函式y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值
或最小值？
77.怎樣解求二次函式最大值或最小值的套用
題？
78.當函式解析式中含有字母係數時，你會對字
母進行討論嗎？
79.當函式解析式中含有絕對值符號時，怎樣畫
出它的圖象？
80.怎樣確定拋物線y=ax2十bx十c與直線
y=kx+m的位置關係？
81.你會利用函式圖象來解某些有關方程或不等
式的問題嗎？
五 套用廣泛的不等式
82.國中階段應掌握不等式的哪些性質？
83.如何解一元一次不等式？
84.如何解不等式組？
85.如何解一元二次不等式？
86.一元二次不等式有何套用？
87.如何解形如 的分式不等式？
88.怎樣確定ax2+bx+c的符號？
89.二次三項式ax2+bx+c的值的符號在解不等
式中有什麼套用？
90.如何解某些高次不等式？
91.不等式丨x丨0）的解集是什麼？
92.a>0時，為什麼有丨x丨<a←→x2<a2，
丨x丨>a←→x2>a2。有什麼套用？
93.如何解含絕對值的不等式？
94.解不等式在根式中有什麼套用？
95.解不等式在研究方程中有什麼套用？
96.解不等式在函式中有什麼套用？
六 簡潔的指數式
97.指數式在運算中有什麼套用？
98.當m、n均為有理數時，（am）n=amn對嗎？
99.為什麼零的零指數冪沒有意義？
100.為什麼零的負指數冪沒有意義？
七 三角函式的廣泛套用
101.怎樣理解三角函式的定義？
102.0°～180°角的三角函式有哪些性質？
103.應掌握的三角函式關係式有哪些？
104.怎樣利用誘導公式解決計算問題？
105.已知角α的一個三角函式值，怎樣求其它各
三角函式值
106.怎樣利用同角三角函式關係式解決求值問
題？
107.已知sinα、cosα的值，能確定sinα+cosα和
sinα―cosα的值嗎？
108.怎樣證明三角恆等式？
109.在解三角題過程中，你是否對符號問題給以
了足夠的重視？
110.在三角中怎樣用換元法解題？
111.由cosA・cosB・cosC乘積的符號能判斷△ABC
的形狀嗎？
112.怎樣證明正弦定理？
113.怎樣利用正弦定理解斜三角形？
114.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，怎樣
解三角形？
115.什麼情況下可利用餘弦定理解三角形？
116.你會判斷這些三角形的形狀嗎？
117.怎樣求船和燈塔的距離？
118.你會利用測角器和皮尺測出氣球的高嗎？
119.在三角形中，三條邊長的比等於三個角的
比嗎？
120.如何求三角式的最大值和最小值？
八 圖形的基礎――相交線與平行線
121.平面幾何是一門什麼學科？為什麼要學習平
面幾何？
122.什麼是線段、射線、直線？如何表示？
123.幾何課本中為什麼要介紹兩種角的定義？用
什麼方法來表示角較好？
124.度量角的單位是什麼？度、分、秒如何互
化？
125.怎么正確區分互余和互補的概念？
126.什麼是對頂角？對頂角為什麼相等？
127.怎樣區別相交、斜線、互相垂直、垂線、垂
足、點到直線的距離的含義？
128.“三線八角”是指哪三條線？哪八個角？
129.怎樣套用平行線的判定方法來證題？
130.命題與定理有什麼聯繫和區別？
131.如何著手證明題？
132.怎樣恰當套用角平分線的三種表示法？
九 三角形的性質
133.如何找全等三角形的對應邊和對應角？
134.判定兩個三角形全等有幾種方法？為什麼角、
角、角與邊、邊、角不能判定兩個三角形
全等？
135.怎樣正確運用等腰三角形的性質定理和判
定定理？
136.三角形邊角不等關係證明的思路方法是什
么？
137.如何解文字型的幾何題？
138.如何作含有多個條件、多個結論的命題的
逆命題？
139.軸對稱圖形與中心對稱圖形有什麼區別和
聯繫？
140.套用基本作圖如何解有關作圖題？
141.三角形中經常添的是哪些輔助線？
142.添輔助線財應注意什麼？
143.如何證三角形三條邊上的垂直平分線交於
一點？
144.如何證三角形三條角平分線交於一點？
145.如何證明三角形三條邊上的高交於一點？
十 四邊形的特點及相互關係
146.如何推導多邊形的內角和與外角和？
147.怎樣計算多邊形對角線的條數？
148.怎樣掌握平行四邊形的性質和判定方法？
149.證明一個四邊形是矩形有幾種途徑？
150.證明一個四邊形是菱形有幾種途徑？
151.正方形有什麼特點？如何判定？
152.等腰梯形的性質是什麼？怎樣判定？
153.梯形常用的輔助線有哪些？
154.如何套用三角形、梯形的中位線有關性質
來解題？
155.如何證明線段相等？
156.如何證明角相等？
157.如何證明線段與角的和、差、倍分關係？
158.如何證明線段與角的不等問題？
159.在平面幾何中應該掌握的基本圖形有哪些？
160.三角形及四邊形的面積公式是什麼？等積變
形的作圖如何進行？
十一 相似理論及相似形
161.你會設“K”嗎？
162.為什麼要重視平行線分線段成比例定理的
學習？
163.你會“轉移”比例嗎？――平行線分線段成
比例定理的重要套用。
164.三角形內 （外）角平分線性質定理的證明
給了我們什麼啟示？
165.三角形角平分線性質定理的套用？
166.如何判定兩個三角形相似？――平行線與相
似三角形。
167.如何判定兩個三角形相似？――相交線與相
似三角形。
168.如何判定兩個三角形相似？――旋轉與相似
三角形。
169.射影定理有哪些主要用途？
170.三角形中的三條中線為什麼交於一點和如
何證明重心定理？
171什麼是同一法？
172.怎樣證明線段成比例？
173.你能用三角形的面積公式證明線段成比例
嗎？
174.你會證明1/a+1/b=1/c型的問題嗎？
175.如何利用線段成比例證明線段相等？
176相似三角形與角相等有什麼關係？
十二 與圓相關的概念與證明
177.垂徑定理的逆定理有多少？
178.AB=CD的含義是什麼？
179.怎樣證明與圓有關的不等關係？
180.哪些角與圓有關及怎樣套用？
181.反證法在幾何中如何套用？
182.怎樣證明四點共圓？（一）
183.怎樣證明四點共圓？（二）
184.四點共圓有哪些套用？
185.直線和圓的位置關係的定理及其逆定理為
什麼能用等價符號，即“←→”？
186.怎樣判定直線和圓相切？
187.相交弦定理、切割線定理及其推論有無內
在聯繫？
188.怎樣證明與圓有關的線段成比例（一）？――
基礎題的證明思路
189.怎樣證明與圓有關的線段成比例（二）？一一
較複雜題的證明思路
190.什麼樣的四邊形有內切圓？
191.如何判定圓與圓的位置關係？
192.什麼是定值與最值問題？
十三 正多邊形計算、作圖及其它
193.正多邊形外接圓半徑與邊長、邊心距 ・之
間有什麼關係？
194.什麼是“倍邊公式”及怎樣套用？
195.正五邊形作圓應該怎樣證明？
196.什麼是代數作圖法？
197.命題的四種形式及其關係是什麼？
198.怎樣判定互為逆否命題是等價命題？
199.怎樣求軌跡？
200.什麼是交軌法作圖？
