１、回歸方程的顯著性檢驗
(1) 回歸平方和與剩餘平方和
建立回歸方程以後, 回歸效果如何呢？因變數與自變數是否確實存線上性關係呢？這是需要進行統計檢驗才能加以肯定或否定, 為此, 我們要進一步研究因變數取值的變化規律。的每次取值是有波動的, 這種波動常稱為變差, 每次觀測值的變差大小, 常用該次觀側值與次觀測值的平均值的差(稱為離差)來表示, 而全部次觀測值的總變差可由總的離差平方和
,
其中:
稱為回歸平方和, 是回歸值與均值之差的平方和, 它反映了自變數的變化所引起的的波動, 其自由度(為自變數的個數)。
稱為剩餘平方和(或稱殘差平方和), 是實測值與回歸值之差的平方和, 它是由試驗誤差及其它因素引起的, 其自由度。總的離差平方和的自由度為。
如果觀測值給定, 則總的離差平方和是確定的, 即是確定的, 因此大則小, 反之, 小則大, 所以與都可用來衡量回歸效果, 且回歸平方和越大則線性回歸效果越顯著, 或者說剩餘平方和越小回歸效果越顯著, 如果＝0, 則回歸超平面過所有觀測點; 如果大, 則線性回歸效果不好。
(2) 復相關係數
為檢驗總的回歸效果, 人們也常引用無量綱指標
, (3.1)
或
, (3.2)
稱為復相關係數。因為回歸平方和實際上是反映回歸方程中全部自變數的“方差貢獻”, 因此就是這種貢獻在總回歸平方和中所占的比例, 因此表示全部自變數與因變數的相關程度。顯然。復相關係數越接近１, 回歸效果就越好, 因此它可以作為檢驗總的回歸效果的一個指標。但應注意, 與回歸方程中自變數的個數及觀測組數有關, 當相對於並不很大時, 常有較大的值, 因此實際計算中應注意與的適當比例, 一般認為應取至少為的５到10倍為宜。
