哈特萊變換

定義

與傅立葉變換不同的是，在變換式中用正、餘弦函式之和，即cast=cost+sint來取代傅立葉變換式中的復指數函式e=cost+jsint，所以當信號x(t)是實函式(波形為實數值)時，變換式只有實數運算，即

式①、②定義為哈特萊變換對，其中H（f）稱為x(t)的正變換，x(t)稱為H（f）的逆變換。與傅立葉變換相比，其特點為：①變換式H（f）是實數，它不同於傅立葉變換F（f）是複數；②正變換和逆變換的運算完全一樣，是一對實的嚴格互逆的積分變換，因此很適於作實數據的譜分析和卷積運算。

為了便於計算機計算，對式①、②分別在時域和頻域進行離散化，可得長度為N，實序列x(n)的一對離散哈特萊變換（DHT)，其定義式為圖2。

式中k，n分別代表頻率離散變數和時間離散變數。N=2，r為正整數。哈特萊變換是實波形描述的一種形式，它與實信號的傅立葉變換有著密切的內在聯繫。可以證明x(n)的離散傅立葉變換F(k)，等於x(n)的離散哈特萊變換H(k)的偶部H_e(k)減虛數j乘以奇部H₀(k)，F(k)=H_e(k)-jH₀(k)。按H(k)=H_e(k)+H₀(k)，所以通過DHT可以避免複雜的複數運算，方便地求得DFT。特別對功率譜和相位譜的求解，還存在下列簡單關係。

功率譜圖3，相位譜圖4

DHT也有快速哈特萊蘇昂奮（FHT），可套用於快速傅立葉變換（FFT）所能套用的領域。FHT與實數據FFT或最佳的FFT算法的運算速度基本上一樣，在某些套用場合略快些。後來人們不斷地對DHT進行研究，提出了各種一維和二維的快速算法。其中採用二維DHT計算二維DFT，由於主要是實數計算，所以具有運算量少，便於算法實現等優點，因而在圖像處理、模式識別等領域獲得套用。