哈代-李特爾伍德定理

存在常數K>0及T₀>0，使得對所有T>T₀，黎曼ζ函式在臨界線上0≤Im(s)≤T的區間內的非平凡零點數目不小於KT。這就是哈代-李特爾伍德定理，也稱陳-哈代-李特爾伍德定理。早在1928年，陳建功就證明：三角級數絕對收斂的充要條件是它為楊氏(Young)連續函式的傅立葉級數。同年，G.H.哈代(Hardy，1877-1947)與J.E.李特爾伍德(littlewood，1885-1977)於德國數學時報上也發表了同一結論，因後者發行廣泛，世人常稱之為哈代-利特爾伍德定理。還其本源，此定理當稱為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。

基本介紹

• 中文名：哈代-李特爾伍德定理
• 外文名：Hardy-Littlewood theorem
• 所屬學科：數學
• 別名：陳-哈代-李特爾伍德定理
• 提出者：陳建功，哈代，李特爾伍德

相關介紹

哈代一生除了對數學本身的卓越貢獻外，還有兩段與他人合作的經歷在數學史上被傳為佳話。其中一段是與印度數學奇才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887-1920)的傳奇性的合作，另一段便是與李特爾伍德的合作。李特爾伍德與哈代一樣，是英國本土的數學家。英國的數學界自牛頓-萊布尼茨論戰以來漸漸與歐洲大陸的數學界孤立了開來。1906年，當李特爾伍德還是劍橋大學三一學院(Trinity College)的一位年輕學生的時候，這種孤立所導致的一個有趣的後果落到了他的頭上。他當時的導師、英國數學家巴恩斯(Ernest Barnes，1874-1953)在那年的暑期之前隨手寫給了他一個函式，輕描淡寫地告訴他說這叫做 函式，讓他研究一下這個函式的零點位置。初出茅廬的李特爾伍德不知 函式為何方神聖，領命而去倒也罷了，但巴恩斯居然能漫不經心地把這樣的課題交給當時還是“菜鳥”(儘管算是比較厲害的“菜鳥”)的李特爾伍德，說明他對歐洲大陸在近半個世紀的時間裡對這一函式的研究，以及由此所顯示的這一課題的艱深程度了解得很不夠。

不過巴恩斯雖有對“敵情”失察之過，把任務交給李特爾伍德卻是找對人了，因為李特爾伍德很快就成長為英國第一流的數學家。而在這過程中，巴恩斯所給的這個課題對他的成長不無促進之功。若干年後，當李特爾伍德終於體會到了黎曼猜想的艱深程度，甚至開始懷疑其正確性的時候，他並沒有後悔當時曾經接下了這一課題，因為一位真正優秀的數學家在面對一個絕頂難題的時候，往往會被激發出最大的潛力及最敏銳的靈感。

事實上，拿到上述課題後的第二年，李特爾伍德就發現這個 函式與素數分布之間存在著緊密關聯。對於歐洲大陸的數學家來說，這種關聯已不足為奇，因為它早在四十八年之前就被黎曼發現了。但在閉塞的英國數學界，歐洲大陸在這方面的工作當時還鮮為人知。不過閉塞歸閉塞，例外還是有的，其中與李特爾伍德恰好同在三一學院的哈代就是一個例外。儘管李特爾伍德的發現在時間上未能領先，但他能獨立地重複黎曼的部分工作，其功力之不凡還是給年長的哈代留下了深刻印象。此後李特爾伍德在曼徹斯特大學(University of Manchester)教了三年書。1910年他在獲得了三一學院的教職後重返劍橋，由此開始了與哈代長達三十七年親密無間的合作生涯，直到1947年哈代去世為止。

哈代與李特爾伍德的合作堪稱數學史上合作關係的典範。在他們合作的極盛時期，歐洲數學界流傳著許多有關他們的善意玩笑。

比如玻爾(玻爾一蘭道定理中的玻爾)曾經開玩笑說當時英國共有三位第一流的數學家：一位是哈代，一位是李特爾伍德，還有一位是哈代-李特爾伍德。而與之截然相反的另一個玩笑則宣稱李特爾伍德根本就不存在，是哈代為了自己的文章一旦出現錯誤時可以有替罪羊而杜撰出來的虛擬人物。據說蘭道(玻爾一蘭道定理中的蘭道)還專程從德國跑到英國來證實李特爾伍德的存在性。

哈代與李特爾伍德對臨界線上非平凡零點的研究起點與哈代定理相同。在哈代定理的證明中，著眼點是 在整個臨界線上的積分。這一著眼點其實已經為哈代定理的結果埋下了伏筆。正所謂“種瓜得瓜，種豆得豆”，既然所研究的是整個臨界線上的積分，所得到的當然也就只是有關整個臨界線上零點總數的籠統結果。

那么，為了得到能與黎曼猜想對非平凡零點的描述進行具體比較的結果，我們需要什麼呢?我們需要的不僅是對整個臨界線上零點總數的研究，更重要的是要了解臨界線上位於區間 的零點數目。為此，哈代與李特爾伍德研究了 在臨界線上任一區間的積分，即

其中 。通過對這一積分的細緻研究，哈代與李特爾伍德發現臨界線上不僅有無窮多個非平凡零點，而且虛部在0～T的零點總數隨T趨於無窮的速度起碼是KT(其中K為大於零的常數)。他們發表於1921年的這一結果在數學界並無確切名稱，我們在這裡將它稱之為哈代-李特爾伍德定理，它的完整表述如下：

哈代一李特爾伍德定理：存在常數K>0及T₀>0，使得對所有T>T₀，黎曼 函式在臨界線上 的區間內的非平凡零點數目不小於KT。

有了這樣的具體結果，我們就可以將它與黎曼猜想相比較了。那么，哈代-李特爾伍德定理距離黎曼猜想這一目標究竟有多遠呢?為了回答這一問題，我們可以回憶一下黎曼那三個命題中的第一個，即：在 的區間內(不限於臨界線上)，黎曼 函式的零點總數大約為 。這個命題於1905年被曼戈爾特所證明，並且也是黎曼那三個命題中迄今唯一得到證明的命題。與這個命題相比，我們可以看到一個令人沮喪的結果，那就是哈代-李特爾伍德定理所給出的對臨界線上非平凡零點數目下限的漸近估計相對於零點總數來說，其漸近比例為零!真是不比不知道，一比嚇一跳，原來花了這么大工夫所得到的這一結果從純比例的角度看竟是如此的“微不足道”。

這就是我們與黎曼猜想的距離所在，也是黎曼猜想的難度所在。

但儘管如此，哈代-李特爾伍德定理是有關黎曼 函式非平凡零點在臨界線上的具體分布的第一個解析結果。在當時也是唯一一個那樣的結果，其重要性是不言而喻的。哈代-李特爾伍德定理的這一紀錄總共維持了21年，直到1942年才被賽爾伯格所打破。

陳建功與哈代-利特爾伍德定理

在三角級數的絕對收斂與絕對求和方面，陳建功也做出了卓越的貢獻。早在1928年，他就證明：三角級數絕對收斂的充要條件是它為楊氏(Young)連續函式之傅立葉級數。同年，G.H.哈代(Hardy，1877-1947)與J.E.李特爾伍德(littlewood，1885-1977)於德國數學時報上也發表了同一結論，因後者發行廣泛，世人常稱之為哈代-利特爾伍德定理。還其本源，此定理當稱為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。陳建功在三角級數的收斂與求和方面還有許多貢獻，難以一一列舉，但必須指出，他1944年的求和的結果推進了哈代-利特爾伍德的定理。