向量管

向量場中通過一條閉曲線的向量線的全體。由於圖形呈管狀而得名。

向量管是向量場中特殊的一種向量曲面(向量曲面的特徵在於與其上每一點M都對應著向量A(M)，它位於曲面在該點的切平面內)．如果在向量場內取任一條不是向量線的閉曲線，並經過其每一點引向量線，那么這些線的軌跡就是一管狀向量曲面，稱之為向量管．通過向量管的橫截面的向量流量叫做向量管的強度。在螺線在螺線向量場強度為一常數。

基本介紹

• 中文名：向量管
• 外文名：vector tube
• 分類：向下凸的、向下凹的
• 所屬學科：高等流體力學
• 相關概念：散度、管量場、向量管強度等
• 所屬領域：數理科學

向量管的分類

①向下凸的（downwards convex），又名“向上凹的(upwards concave)”。

如果曲線y=f(x)的圖形位於其任何一點處的切線之上，則稱該曲線是向上凹的，也稱為向下凸的。

如果f(x)的二階導數f''(x)在某個區間內為正，則曲線y=f(x)在該區間內是向上凹的。

②向下凹的(downwards concave)，又名“向上凸的(upwards convex)”。

如果曲線y=f（x）的圖形位於其任何一點處的切線之下，則稱該曲線是向上凸的，也稱向下凹的。

如果y=f(x)的二階導數在某個區間內為負，則曲線y=f(x)在該區間內是向上凸的。

有關向量管的一些概念

概念一：散度

從向量場中穿出閉曲面的通量，可以得出閉曲面內有正源或負源，這從整體上反映了向量場內通量的情況，但不知道源在各個點處的強弱情況，我們需要引入下面的概念．

設向量場a，在場中的任意一點P的某個鄰域內作一包含此點的閉曲面ΔS，設△S所包圍的空間區域為△Ω，其體積為△V，若極限

存在，則稱此極限值為向量場a在點P處的散度，記為diva．

散度是純數量，與坐標系的選擇無關，它是向量場的重要特徵．散度表示向量場中某一點處通量對體積的變化率，即此點處穿出一個單位體積的通量，我們稱之為此點處源的強度．如果散度為正，表示此點有散發通量的正源；散度為負，此點有吸收通量的負源；散度為零，此點處無源．散度的絕對值就表示此點處散發或吸收通量的強度．

向量場中每一點都有散度，將點與散度一一對應，得到一個數量場，稱為由向量場產生的散度場．

在直角坐標系中，設向量場a=ax(x,y,z)i+ay(x,y,z)j+az(x,y,z)k，在任意一點處散度:

對於散度，也可以認為某點散度為正值時，此點是向量線的開始，為負值時，此點是向量線的終止．

概念二：管型向量場

若在向量場a內有diva=0，則稱此向量場為管型向量場．

在管型向量場中，既無正源也無負源，在有限的距離上，向量線在任何地方不能開始，也不能終止，它們能伸向無窮遠，可能是閉合的向量線，也可能是起點與終點均在場的邊界上的向量線．

概念三：向量管

從一閉曲線上每一點引一條向量線，得到的管狀曲面稱為向量管．

概念四：向量管強度

管型向量場中通過一個向量管各個斷面的流量是相等的，此數值稱為向量管強度．

對於不可壓縮流體速度場v，既無正源也無負源，則divv=0，從而是管型向量場．因為通過向量管的任意一個斷面的流量相等，管細的地方流量加快，管粗的地方流量減慢，此時流體流動起來像一條條管子．

有關向量管的性質與定理

流體通過向量管的任意斷面的流量都是相同的．且無源場等價於管量場。