《向量值邊值問題最大正則性及相關問題》是依託清華大學，由步尚全擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：向量值邊值問題最大正則性及相關問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：步尚全
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在本項目中，我們將研究取值於Banach空間中的幾類邊值問題的最大正則性及溫和正則性，這些研究具有深刻的理論意義及廣闊的套用背景，事實上很多實際中遇到的偏微分方程都可以抽象為取值於某一Banach空間的邊值問題。我們將研究幾類一階邊值問題和二階邊值問題的最大正則性及溫和正則性，對應的邊值條件可以是周期邊值條件，也可以是Cauchy邊值條件。我們將試圖給出這些邊值問題具有最大正則性及溫和正則性的充分條件或必要條件，研究這些邊值問題最大正則性和溫和正則性與問題所在的Banach空間幾何性質的內在聯繫。我們研究這些邊值問題最大正則性及溫和正則性的工具為向量值函式空間上的運算元值傅立葉乘子定理，事實上我們將這些邊值問題的最大正則性及溫和正則性問題自然地轉化成為一個運算元值傅立葉乘子問題。另外我們還將研究最大正則性及溫和正則性與問題所在函式空間的參數的無關性。
結題摘要
在本項目里，我們研究了幾類向量值退化時滯微分方程在不同函式空間 的最大正則性問題，其中帶有的時滯項可以是無窮時滯也可以是有限時滯，考慮的函式空間可以是Lebesgue-Bochner空間，可以是周期Besov空間，也可以是周期Triebel-Lizorkin空間。我們將這幾類問題的最大正則性問題自然地轉化成為相應向量值函式空間上的運算元值傅立葉r乘子問題，利用已有的向量值函式空間上的運算元值傅立葉乘子定理，我們給出了這些問題在相應函式空間具有最大正則性的充分條件、必要條件或者充分必要條件。我們將得到的抽象結果套用到很多具體的退化時滯微分方程上，給出了這些退化時滯微分方程在不同函式空間中具有最大正則性的充分條件、必要條件或者充分必要條件。另外，我們還研究了Banach空間中非空閉凸子集上的不動點定理，得到了Krasnoselskii型不動點定理，該定理可以成功地套用到一類Hammerstein積分方程中，給出該類方程解的存在性的刻畫。
