同解變形（equivalent transformation）是解方程(組)所涉及的一個概念，用一個方程(組)的同解方程(組)代替這個方程(組)，這種代換稱為原方程(組)的同解變形。通常，在解方程(組)的過程中，主要是不斷進行同解變形；如果出現了非同解變形，則應對得出的結果進行討論或驗根，找出遺解捨棄增解，關於不等式(組)的同解變形，意義和方程同解變形類似。
基本介紹
- 中文名：同解變形
- 外文名：equivalent transformation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：初等代數
- 相關定理：同解定理
基本介紹,方程的同解變形,方程組的同解變形,不等式的同解變形,
基本介紹
對於一個方程，進行某種變形後，得到與原方程同解的一個新的方程，這種變形叫做同解變形。
通常，在解方程的過程中，主要是不斷進行同解變形；如果出現了非同解變形，則應對得出的結果補充討論或驗根。關於方程組、不等式、不等式組，同解變形的意義和上述相仿。
對於一個方程(或不等式)，指出在保持同解性前提下，所允許進行的一些變形，這些結論統稱同解定理。
方程的同解變形
使方程變為它的同解方程的過程叫做同解變形。關於方程的同解變形，主要有下面的三個定理。
定理1在方程的兩邊都加上同一個整式(單獨的一個數也是整式)，所得方程與原方程同解。
用此定理時一定要注意加上的解析式是整式的條件，否則所得方程不一定與原方程同解。例如，方程2x-1=3的兩邊都加上分式4/(x-2)所得方程2x-1+4/(x-2)=3+4/(x-2)與原方程並不同解。因為原方程的解x=2使新方程的分母為零，方程無意義。
由定理1易得到移項法則：方程中的項改變符號後可以從方程的一邊移至另一邊。
定理2方程的兩邊都乘以同一個對方程的未知數的一切允許值都有意義且值不為零的解析式，所得方程與原方程同解。
顯然，方程兩邊都乘以同一個非零的數也符合定理條件。
用此定理時，必須注意所乘解析式對原方程中未知數的一切允許值都有意義且值不為零的兩個條件.例如，把方程x2-4=3x的兩邊都乘以解析式1/(x-4)所得方程(x2-4)/(x-4)=3x/(x-4)與原方程並不同解，原因是所乘解析式並不是對原方程未知數的所有允許值都有意義.當x=4時，1/(x-4)無意義，而x=4是原方程的一個解.又如，方程(x2+1)(2x-3)=(x2+1)(x-1)可以認為是由方程2x-3=x-1的兩邊都乘以解析式x2+1所得.這兩個方程在實數集裡同解，在複數集內不同解.原因是在實數集內x2+1≠0，在複數集裡x2+1的值有為零的時候，使x2+1=0的x值是方程(x2+1)(2x-3)=(x2+1)(x-1)的解而不是原方程2x-3=x-1的解，這就產生了增根。
定理3若方程的一端為零，另一端是幾個因式的乘積，則使各個因式分別等於零而得到的幾個方程與原方程同解。
本定理是用因式分解的方法解方程的理論依據。
例如，要解方程x3-3x2-x+3=0，可將方程左端分解因式，得到方程
(x+1)(x-1)(x-3)=0
據定理3，只要解下面三個方程
x+1=0，x-1=0，x-3=0
得到原方程的解為：
x1=-1，x2=1，x3=3.
在解方程時，若進行的變形都符合上面的三條定理，則保證是同解變形，所得方程之解皆為原方程之解，且不會失根，故不必進行檢驗。
方程組的同解變形
方程組的同解定理有：
1.方程組裡的任一方程用它的一個同解方程去代替，所得的方程組和原方程組同解。
2.方程組裡的某一方程如是其中一個未知數用另一些未知數來表示的等式。那么，在這方程組裡的另一些方程中，凡出現該未知數時都用這個表達式去代替，所得的方程組和原方程組同解。
3.方程組裡的一些方程的兩邊分別相加(減)，所得到的方程去代替參加運算的任一方程，所得的方程組和原方程組同解。
4.方程組裡的某一方程如是一邊為若干個因式的乘積，另一邊為零的形式，令這些因式分別為零而得到若干個方程，將這些方程逐一和原方程組中的其餘方程組成新的方程組，那么原方程組的解即是這些新的方程組的解的全體。
不等式的同解變形
不等式的同解定理有：
1.不等式f(x)>g(x)和不等式g(x)<f(x)同解。
2.如果h(x)對未知數的一切可能值都有意義，則不等式f(x)>g(x)和不等式f(x)+h(x)>g(x)+h(x)同解。
3.如果h (x)對未知數的一切可能值恆取正值，則不等式f(x)>g(x)和f(x)·h(x)>g(x)·h(x)同解;不等式f(x)>g(x)和
同解。
4.如果h(x)對未知數的一切可能值恆取負值，則不等式f(x)>g(x)和f(x)·h(x)<g(x)·h(x)同解；不等式f(x)>g(x)和
同解。
