可修系統模型(models of repairable system)是一種可靠性模型，它是允許對失效部件進行修理，使其恢復功能的可靠性模型。由於引入了修理，使系統可靠性得到了提高，但是模型的分析更複雜了。可修系統研究的內容有：系統首次失效時間的分布；可用度；(0，t]中失效數的分布以及與修理有關的指標——在時刻t修理工忙的機率。
基本介紹
- 中文名：可修系統模型
- 外文名：models of repairable system
- 屬性：一種可靠性模型
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：統計學(可靠性統計)
基本介紹,常見的可修系統模型,可用性指標,修復度M(t),修復機率密度函式m(t),修復率μ(t),可用度A(t)與不可用度Q(t),平均周期MCT與故障頻率M,
基本介紹
對於可修系統，若運行過程中發生故障，就要維修。將一個系統從故障狀態恢復到正常狀態的維修能力，稱為維修性。在“正常一故障一正常一故障”的反覆過程中，系統所表現出的正常工作能力，稱為可用性。系統可用性是可靠性與維修性的函式。
與不可修系統相比，可修系統的情形更為複雜。由於有維修的因素，系統故障後可予以修復，系統的運行隨時間的進程是正常與故障兩種狀態交替出現。
常見的可修系統模型
常見的可修系統模型有：
1. 馬爾可夫過程模型：若部件的壽命及修理時間都是指數分布時，系統的狀態可用時間連續狀態離散的馬爾可夫過程來描述。
2. 交替更新過程模型：系統的工作及修理的周期性變化由一個交替更新過程來描述。
3. 其他隨機過程模型：用更複雜的隨機過程，如馬爾可夫更新過程等來描述系統的狀態。
可用性指標
下面，先介紹可用性的常用指標及其符號，而且僅關注其單純維修過程。
修復度M(t)
一個可修系統在規定的條件下和規定的時間內完成修復的機率，稱為修復度，記為。設以非負隨機變數
表示一個故障系統的修復時間，則可修系統的修復度定義為
所謂“規定的條件”，是指維修的三要素：①可修系統的難易程度；②維修人員的技術水平；③備用件、工具等的準備情況。
所謂“完成修復的機率”，是指在規定的時間內，修理恢復一個故障系統原有規定功能的機率。維修度
越大，則故障系統在一定的時間
內就越容易修復。
所謂“維修”，不一定是系統停止運行後的修理，也包括系統在繼續運行過程中的檢修與維護。但凡能使系統恢復原有規定功能的工作，皆屬“維修”的範疇。
在研討修復度時，對於所謂“規定的條件”、“規定的時間”與“原有規定功能”等影響維修工作的各方面因素，都應有明確的界定。
設有已經故障的
個完全相同的系統，並且在相同的條件下同時開始維修，分別記錄每個系統從開始修理到修復的時耗
。若從時刻
時，已記錄修復的系統個數為
，仍在修理的系統個數為
，則有
令
式(1)即系統修復度
與未修復度
的一種明確的數學模式。
由的實際含義易知：
當
時，
當
時，
.
可靠度
表示任一系統在
時段內保持正常( 工作)狀態的機率，而修復度則表示任一系統在
時段內從故障(失效)狀態恢復到正常( 工作)狀態的機率。
修復機率密度函式m(t)
如果可微分，即存在導數
設有
個故障系統，在
時刻被修復系統數目為
，在
時刻被修復系統數目為
，則修復機率密度函式
的估計值為
當系統數目足夠多: 
，而所考察的時間間隔足夠短: 
時，有
修復率μ(t)
一個可修系統在t時刻，其狀態由“故障→正常”的轉移速率，稱為修復率，記為
。修復率與故障率
都表征在一定條件下系統狀態在t時刻的變化速率，其區別在於: 修復率高，表示系統修復速度快，即系統由故障狀態向正常狀態轉移的可能性大；而故障率高，則表示系統損壞速度快，即系統由正常狀態向故障狀態轉移的可能性大。修復率也可理解為一批在t時刻處於故障維修狀態的同類系統，在下一個單位時間內被修復的比率。設有
個故障同類系統在0時刻同時開始維修，若到t時刻有
個系統被修復，到
時刻有
個系統被修復，則該N個系統在t時刻的修復率為
又因
而系統的修復度為
可用度A(t)與不可用度Q(t)
可用性(availability)也稱有效性，是指可修系統在規定的條件下運行時所具備的維持其規定功能的能力。定義中“規定的條件”包括系統的工作條件和維修條件。若能利用機率來度量，則可用性的尺度稱為可用度。
可用度是由可靠度與維修度有機合成的、關於系統可利用程度的指標，可謂廣義可靠度，其對象包括沒有發生過故障的系統與發生故障後修好的系統。為此，定義如下;
可用度A(t)——系統在任意時刻
處於正常( 工作)狀態的機率；
不可用度Q(t)——系統在任意時刻處於故障狀態的機率。
因“系統可用”與“系統不可用”為互逆隨機事件，故有
若系統運行充分長的時間後，能夠達到穩態即統計平衡狀態，則其狀態變化率與狀態機率就不再隨時間變更，而均為常數: 
(故障率)、
(修復率)、A(可用度)、Q(不可用度)，遂有
由此可見，若要增大系統的可用度A，則或須增大系統的平均工作時間MTBF，或須減少系統的平均修復時間MTTR。
又因系統處於穩態時，有
平均周期MCT與故障頻率M
平均周期是指可修系統每次工作時間加修復時間這段時間的期望值，記為MCT，有
