在一般的更新過程中，只考慮系統只有一個狀態的情況，比如，機器一直是開的(即更新零件不需要時間)．而實際上，零件損壞後會有一個拆卸更換的過程，這段時間機器是“關”的．這樣有“開”和“關”兩種狀態的更新過程稱為交替更新過程。
基本介紹
- 中文名：交替更新過程
- 外文名：alternating renewal process
- 所屬領域：數理科學
- 研究對象：隨機變數
- 性質：機率事件
相關重要結論,詳解,
相關重要結論
設系統最初是開的，持續開的時間是Z1，而後關閉，時間為Y1之後再打開，時間為Z2又關閉，時間為Y2，...交替進行，每當系統被打開稱作一次更新．
我們假設隨機向量列{(Zn，Yn)，n≥1}是獨立同分布的，從而{Zn)，{Yn}都是獨立同分布的，即Zi，Yi在i≠j時獨立，但Zi，Yi允許不獨立．
下面利用關鍵更新定理得到交替更新過程的一個很重要的結論．
定理:設H是Zn的分布，G是Yn的分布，F是Zn+Yn的分布．並記P(t)=P{t時刻系統是開的)，設E(Yn+Zn)<∞，且F不是格點的，則
證明 ： 對第一次更新的時刻X1=Z1+Y1，取條件機率得:
則：
方程解為：
又：
且顯然
非負不增，由關鍵更新定理得：
詳解
考慮較一般的情形，即當零件失效時，用新零件更替用壞的零件需要一定的時間(一般說來，這段時間的長度是隨機的)去尋找、拆卸損壞的零件和安裝新零件。於是對應的系統就有兩種狀態——工作狀態和故障(或者說修理)狀態。這時就需要用一個兩狀態(通常記為狀態“1”和“0”)的隨機過程來描述設備的工作情況。該過程交替地取值“1”和“0”，即設備交替地處於工作和故障狀態。由此引導到如下的交替更新過程模型。
系統有“1”和“0”兩種狀態。假設在初始時刻系統處於狀態“1”，在該狀態逗留一段時間Z1後轉移到狀態“0”，在“0”的逗留時間是Y1，接著它又轉回狀態“1”並在“1”逗留長為Z2的時間，以後又轉到狀態“0”，在該狀態度過長為Y2的時間後又轉回“1”，…如此相繼在狀態“l”和“0”之間交替轉移下去。由於系統在這兩個狀態的逗留時間是隨機的，我們就得到兩串隨機變數Z1，Z2，…，Zn，…和Y1，Y2，…，Yn，…進一步假設(Z1，Y1)，(Z2，Y2)，…，(Zn，Yn)，…是相互獨立同分布的，但對任一固定的n，Zn和Yn可以相依。由對{(Zn，Yn)}所加條件知{Zn)和{Yn}各自都是相互獨立同分布的隨機變數序列。我們把由隨機向量序列{(Zn，Yn)}確定的隨機過程(或該序列自身)稱做交替更新過程。
顯然，若Yn=0對所有n，則由{(Zn，Yn)}描述的交替更新過程就變為由{Zn}描述的普通更新過程。
從上面對交替更新過程的描述可以看出，系統每一次從狀態“0”轉移到狀態“1”的時刻是過程的一個“再生點”。這就是說，從機率分布律的觀點看，過程從該時刻開始往後的發展如同過程從頭開始一樣(而不受過程在該時刻以前的歷史影響)。易見普通更新過程的每一個更新時刻都是過程的再生點。再生點這一概念在套用機率中很重要。
令H，G和F分別表示Zn，Yn和Zn+Yn(n==1，2．··)的分布。又記
P1(t)=P(在時刻t系統處於狀態“1”)，
P0(t)=P(在時刻t系統處於狀態“0”)。
下面的定理在排隊論和可靠性理論中很有用。
定理1 設E(Zn+Yn)<∞，F是非格子分布，則
定理2 若Zn和Yn相互獨立，Zn和Yn的分布H和G分別有密度函式h和g，則
式中Mi(t)=ENi(t)(i=0，1)，而Ni(t)則是過程在區間(o，t]中狀態“i”的更新次數，即從狀態“i”轉移到另一狀態的次數。
