可交換矩陣

滿足乘法交換律的方陣稱為可交換矩陣，即矩陣A，B滿足：A·B=B·A。高等代數中可交換矩陣具有一些特殊的性質。下面所說的的矩陣均指n 階實方陣。

基本介紹

• 中文名：可交換矩陣
• 外文名：commutable matrices
• 解釋：滿足乘法交換律的方陣
• 公式：A·B=B·A
• 屬於：高等代數

定義

滿足乘法交換律的方陣稱為可交換矩陣,即矩陣A，B滿足：A·B=B·A。

高等代數中可交換矩陣具有一些特殊的性質。下面所說的的矩陣均指n 階實方陣。

條件

定理1

下面是可交換矩陣的充分條件：

(1) 設A , B 至少有一個為零矩陣,則A , B 可交換;

(2) 設A , B 至少有一個為單位矩陣, 則A , B可交換;

(3) 設A , B 至少有一個為數量矩陣, 則A , B可交換;

(4) 設A , B 均為對角矩陣,則A , B 可交換;

(5) 設A , B 均為準對角矩陣（準對角矩陣是分塊矩陣概念下的一種矩陣。即除去主對角線上分塊矩陣不為零矩陣外，其餘分塊矩陣均為零矩陣）,且對角線上的子塊均可交換，則A , B 可交換;

(6) 設A*是A 的伴隨矩陣,則A*與A可交換;

(7) 設A可逆,則A 與其逆矩陣可交換;

註：A的逆矩陣經過數乘變換所得到的矩陣也可以與A進行交換。

(8) （n=0,1..., ）可與(m=0,1..., )交換.這一點由矩陣乘法的結合律證明。

定理2

(1) 設AB =αA +βB ,其中α,β為非零實數,且αβ=1,則A , B 可交換;

(2) 設A m +αAB = E ,其中m 為正整數,α為非零實數,則A , B 可交換.

定理3

(1) 設A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,則A , B 可交換;

(2) 設A , B 均可逆, 若對任意實數k , 均有A = ( A - k·E) B ,則A , B 可交換.

充要條件

定理4

下列均是A , B 可交換的充要條件:

(1) A² - B² = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)

(2) ( A ±B) ² = A ² ±2 AB + B² ;

(3) ( AB)^T= A^TB^T;

特別地，當階A,B都是2階方陣，或者A,B都可逆n階方陣，下面也是充要條件

(4) ( AB)^*= A^*B^*

定理5

可逆矩陣A , B 可交換的充要條件是：

定理6

(1) 設A , B 均為(反) 對稱矩陣, 則A , B 可交換的充要條件是AB 為對稱矩陣;

(2) 設A , B 有一為對稱矩陣,另一為反對稱矩陣,則A , B 可交換的充要條件是AB 為反對稱矩陣.

性質

性質1

設A , B 可交換,則有:

(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整數;

(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多項式,即A 與B 的多項式可交換;

(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)

(4) ( A + B )^m =(矩陣二項式定理)

性質2

設A , B 可交換,

(1) 若A , B 均為對合矩陣,則AB 也為對合矩陣;

(2) 若A , B 均為冪等矩陣, 則AB , A + B -AB 也為冪等矩陣;

(3) 若A , B 均為冪麼矩陣,則AB 也為冪麼矩陣;

(4) 若A , B 均為冪零矩陣,則AB , A + B 均為冪零矩陣.

性質3

若A,B可交換，則A，B可同時上三角化。