《反射不變測度下的調和分析中的一些問題》是依託上海師範大學，由李中凱擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：反射不變測度下的調和分析中的一些問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李中凱
- 依託單位：上海師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於在有限反射群下不變測度的調和分析是函式論中的新課題，是多個數學分支的交叉領域。本項目提出研究這一領域的幾個新問題作為研究內容，包括：帶有反射對稱測度的一類振盪奇異積分，Dunkl變換的限制性定理和Bochner-Riesz平均、廣義的球面極大函式的有界性、對一類非徑向函式的廣義平移的描述和有界性、Dunkl框架下的Riesz位勢和一般卷積運算元，以及與其相關的一些正交展開的Hardy空間乘子問題和拉冬變換等。Dunkl理論與組合學、根系、Weyl群和Hecke代數等有著深刻聯繫，數學物理中的C-S模型表現為關於對稱群的Dunkl運算元,而特殊參數下的Dunkl-Bessel函式為歐氏型對稱空間上的球面函式，這使得該領域具有巨大研究潛力 。
結題摘要
本項目研究關於一類反射不變測度的調和分析中的幾個問題。 C. Dunkl自1988年以來的一系列工作，奠定了關於在有限反射群下不變測度的調和分析的基礎。本項目取得了下列研究成果：關於Dunkl框架下的Riesz變換，給出了廣義Riesz變換的主值積分表示，對一類特殊的反射群下的情況，證明了廣義Riesz變換的弱(1,1)有界性和強(p,p)有界性；提出一類帶有反射對稱權的振盪積分，確定這類振盪積分的幾乎處處收斂性的正則性指標和發散集的Hausdorff維數，證明了相應局部極大函式的局部有界性；證明了Dunkl框架下的廣義球面平均和廣義平移的有界性、關於相應的廣義卷積的Young不等式、以及帶有一般核函式的Dunkl卷積運算元及其極大運算元的有界性；關於帶有反射不變測度的振盪積分，確定了支集集中於球面的測度的Dunkl變換的衰減階，並套用於關於Dunkl變換的限制性定理和Bochner-Riesz平均；利用調和分析的實變方法，建立了Hardy空間或廣義Hardy空間中的函式相應於幾類正交展開的一系列乘子定理；證明了關於Dunkl框架下的Littlewood-Paley函式的有界性和Dunkl框架下的Riesz位勢的有界性，並用於相應於Dunkl變換的乘子運算元；關於平面上的一般（加權）衰減Radon變換，在衰減函式滿足較低的光滑條件和衰減條件下，建立了Novikov逆公式。
