帶有反射不變測度的拉冬變換

《帶有反射不變測度的拉冬變換》是依託首都師範大學，由李中凱擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：帶有反射不變測度的拉冬變換
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李中凱
• 依託單位：首都師範大學

項目摘要

關於反射不變測度的調和分析（Dunkl理論）是僅有20年歷史的新領域，而拉冬（Radon）變換是與調和分析、積分幾何和放射線斷層攝影技術（CT）等多領域相關的課題和工具，本項目結合這兩個重要研究領域，提出研究帶有反射不變權的廣義拉冬變換這一新課題。對比經典拉冬變換及其已有推廣，它不僅能提供函式重構的新方法，也為關於反射不變測度的調和分析的研究提供了新工具。具體研究工作包括：以適當的方式給出帶有反射不變權的廣義拉冬變換及其對偶的定義，研究其一般結構和性質，特別是與Dunkl理論中的各種工具的聯繫；研究它們對於帶有反射不變權的球面調和函式的不變性、支集定理和值域定理；在L^p空間中建立一般的廣義Fuglede公式，由此給出廣義拉冬變換的各種重構逆公式；對支集分別在單位球內和球外的函式建立帶有反射不變權的拉冬變換的奇異值分解；利用廣義拉冬變換研究帶有微分-反射運算元的廣義波方程的解的結構和性質。

結題摘要

本項目研究帶有反射不變權的廣義拉冬變換及其調和分析問題。利用Dunkl 理論中的纏繞運算元及其對偶運算元，結合經典的Radon 變換給出帶有反射不變權的廣義Radon 變換（稱為Dunkl-Radon 變換）及其對偶變換的定義，建立了Dunkl-Radon 變換的基本理論，包括Dunkl-Radon變換的值域定理、支集定理、廣義的Fuglede 公式、在加權L^p空間中的逆定理，以及Dunkl-Radon變換和它的對偶變換對於齊次h-球面調和函式類的不變性。廣義Radon 變換被用於一類偏微分方程的解的表達。利用其在二維特殊情況下的一個對稱性質，得到了Jacobi 多項式的一個新的乘積公式。研究了一類具有雙旋轉不變性的加權Radon 變換的結構，給出滿足這種不變性的加權Radon 變換的權函式的特徵，利用乘積球面調和展開和二元Volterra 積分方程的理論證明了加權Radon 變換的支集定理、值域定理，對支集在單位球內和單位球外的函式建立了奇異值分解。提出一種修正衰減拉冬變換，與原形式相比，修正衰減拉冬變換具有與經典拉冬變換有更大的相似性，有更多的可比性，說明修正衰減拉冬變換有更大的適應性和套用範圍。我們證明了修正衰減拉冬變換的結構性質，值域定理、支集定理，給出了修正衰減拉冬變換的兩個逆公式。分別系統研究了在上半平面上和單位圓盤內帶有反射不變權的調和分析，利用基於Dunkl運算元的廣義Cauchy-Riemann方程組引入相關的Hilbert變換和共軛函式，給出廣義解析性的定義和各種等價刻畫、證明了非切向廣義Poisson極大函式的有界性、廣義Hilbert變換和廣義共軛函式有界性，建立了上半平面上和單位圓盤內帶有反射不變權的Hardy空間的基本理論及其各種不等式等。研究了圓盤上的Hardy 空間關於Dunkl-Jacobi 級數（指數型Jacobi 級數）的乘子問題，證明了基於Dunkl-Jacobi 級數的Hardy-Littlewood 型乘子定理；我們還給出上半平面上的Hardy 空間關於廣義Hermite 級數的乘子準則，相關的乘子定理蘊含著廣義Hermite 級數型的Paley定理。