卵圓是人們常見的圖形，根據對家禽卵（蛋）的形狀考察，套用多焦點圓的原理和方法，明確了卵圓的形成規則、圖形特徵和參數計算，對卵圓有了基本認識。
基本介紹
- 中文名：卵圓
- 根據：家禽卵（蛋）的形狀考察
- 套用：多焦點圓的原理和方法
- 明確：卵圓的形成規則
卵圓,卵圓形狀,
卵圓
卵圓的概念來自於家禽和卵生動物的卵（蛋），整個卵（蛋）稱為卵球體，縱截面的形狀習慣上稱為卵圓。卵圓名詞在醫學和生物學上套用的較多，如：卵圓細胞、卵圓形葉片、卵圓形果實等等。事實上，人們對卵圓的直觀認識由來已久，人類從原始的茹毛飲血時代開始，就有取食於禽、鳥類卵的習慣，當今人們採用規模飼養家禽的方法取卵，成為餐桌上的美味佳肴。然而，人們對自然界中的各種幾何圖形都作了細緻的研究，唯有卵圓圖形至今未能有一個明確的描述和定義，對圓形的認識仍然停留在圓和橢圓階段。套用多焦點圓的原理和方法，對卵圓的圖形特徵和形成規則有一個基本認識。
卵圓形狀
根據對家禽卵（蛋）的觀察和在燈光下的投影，作卵圓的示意圖，見圖1。
圖1卵圓示意圖
由圖1可知，卵圓的圖形特徵：1具有一條對稱軸，屬於對稱圖形；2 兩端不對稱，一頭大另一頭小；3卵圓的長、扁，長大於寬為長形卵圓，寬大於長為扁形卵圓；4具有反映圖形特徵的三個特徵參數長、寬、和半軸；5卵圓周是規範閉合曲線。
2形成規則
2.1原理
多焦點圓理論與方法表明：卵圓和圓、橢圓都具有相同的屬性和圖形特徵，各種圓形滿足動點與定點間環線長為常數的規則。不同的是焦點數目和對稱軸數目，形成各有特色的不同圖形。採用環線的方法將各種圓形的概念統一起來。
所謂環線，是指一條環形閉合線。各種圓形在其形成規則中，動點與定點之間以環線為常數的規則。環線內可容納多個定點（焦點），多個定點（焦點）之間的連線，形成定點（焦點）多邊形，如：點、線段、三角形、四邊形等等。不同數目焦點和焦點形狀，形成各種形狀的多焦點圓圖形。
圓、橢圓和卵圓的形狀存在著明顯的差異。從焦點數目角度分析，圓是一個焦點，橢圓是兩個焦點。增加一個焦點，使圓變扁形成了橢圓。卵圓與橢圓類似，相當於橢圓的寬偏離中點，卵圓的焦點數目應該多於橢圓的焦點數目。因此，套用環線的方法，通過增加焦點數目，引起橢圓變形從而得到卵圓。
2.2 圓形作圖—環線作圖方法
環線作圖方法屬於連續移動作圖，是各種圓形的通用作圖方法，適合不同大小的圓、橢圓和卵圓的作圖。
方法簡介：（1）環形線製作：取一段長度（30—50cm）和粗細適中彈性小的軟線，一段8mm長細電線空塑膠管，軟線從塑膠管中相向竄過，塑膠管將軟線夾緊，但用力能抽動，形成能收縮和放長的環形線。（2）作圖工具為環形線、大頭針、直尺和筆。（3）在作圖平面上作出焦點紡錘形和邊的延長線的交點。（4）將大頭針分別直立、固定在紡錘形的四個頂點上；（5）將符合長度的環形線套在大頭針外，畫筆由內向外拉直環線，通過調整環線的長度使筆尖剛好落在紡錘形邊的延長線的交點上，將畫筆移動一周。
2.3內在規則
標準卵圓定義：平面內，以任意紡錘形邊的延長線的交點為動點，與紡錘形之間形成的環線長為常數的軌跡稱做四焦點標準卵圓。紡錘形稱為焦點多邊形，是卵圓的基本屬性。
卵圓是受條件約束的四焦點圓，符合卵圓圖形特徵，具有形成圖形的內在規律。因此，把特定條件的四焦點圓稱為標準卵圓。
3特性
3.1六段弧組合曲線
卵圓是由五個橢圓（相關聯或約束）的六段橢圓曲線通過相切組合形成的規範的閉合光滑曲線圖形。建立適當的直角坐標系，根據紡錘形參數，各段橢圓曲線都能夠建立對應的橢圓方程。根據分段函式方程，對曲線和圖形作具體分析。卵圓曲線屬於分段函式，是規範的分段函式曲線圖形。
3.2三參數平面圖形
表示卵圓圖形的大小和形狀，至少需要三個參數或特徵參數，屬於三個參數的平面圖形。
3.2.1參數
形成卵圓圖形的基本數據稱為參數。卵圓圖形是由紡錘形確定的，紡錘形系指：具有一條對稱軸，對角線互相垂直的四邊形。見圖4中的四邊形ABDC。紡錘形的幾何特徵為：一條對稱軸、兩條對稱的長邊和短邊、兩條相互垂直的對角線。要確定一個紡錘形至少需要邊長和對角線的任意三個數據。由於紡錘形的邊長和對角線之間存在著簡單幾何關係，可以衍生出比值做為參數。因此，紡錘形是三參數平面圖形，所以卵圓也是三參數平面圖形。
3.2.2特徵參數
卵圓只有一條對稱軸，長和寬有數量大小的變化，寬可以在對稱軸上的不同位置，圖形特徵是一頭大、一頭小，兩端不對稱。因此，卵圓圖形要用長、寬和半軸三個參數描述。長為對稱軸的長度；寬為圓周與對稱軸垂直的極大值；半軸為寬與對稱軸垂足至對稱軸兩端的長度，紡錘形的長邊一端稱為上半軸，短邊稱為下半軸，兩個半軸的長短不相等且可以相互轉化，將長的半軸稱為半軸。因此長、寬和半軸三個特徵參數反映卵圓的大小和形狀。
3.3分析方法
卵圓的參數分為參數和特徵參數兩種，兩種參數都可以確定一個具體的卵圓。可以從參數和特徵參數兩個方面對圖形進行分析。
3.3.1參數分析
根據已知紡錘形參數值，建立參數與特徵參數的關係式，對卵圓作以下幾方面分析：
（1）計算對稱多焦點圓的特徵參數（長、寬、和半軸）。
（2）計算周長、面積。（有待探討）
（3）計算卵圓的某些特殊值。
（4）卵圓作圖。（只有參數方可作出多焦點圓圖形）。
（5）卵圓的圖形設計。（任意選擇參數設計出所需圖形）。
3.3.2特徵參數分析
通過特徵參數（長、寬和半軸）求解參數，再由所求的參數對多焦點圓作具體分析。由於參數與特徵參數關係的複雜性，難以通過關係式直接解出參數值。根據卵圓的性質，利用參數與特徵參數關係式，採用參數模擬計算方法，實現以特徵參數對參數的求解。模擬計算是一種逐步逼近的近似方法，其精確度根據需要自行確定。因此，參數和特徵參數兩種方式確定同一個卵圓。
3.4單位卵圓
以卵圓的對稱軸長為單位長度，卵圓的特徵參數除以單位長度，得出單位卵圓的特徵參數。單位卵圓的長為1，單位半軸為0.5≤R<1；單位寬值因卵圓形狀的長、扁而不同。單位卵圓主要用於不同大小卵圓間的形狀和特徵的比較和分析。特別是在參數模擬計算中，需要把卵圓特徵參數化為單位圓參數。
3.5卵圓方程
3.5.1分段函式方程
四焦點卵圓的6段橢圓弧，根據參數，建立各段橢圓建立聯立方程，屬於分段函式方程。
3.5.2卵圓標準方程
基於橢圓或圓的標準方程推導出的卵圓方程稱做：卵圓標準方程。
4圖形特徵
卵圓的三參數平面圖形多樣性，超出人們一般的想像。卵圓的參數和特徵參數是相關聯的兩組數據，參數是卵圓的內在因素，特徵參數是卵圓的表現形式。卵圓的寬可以在對稱軸上不同位置，寬為卵圓的中點和BD延長線的交點，是卵圓圖形特徵變化的兩個臨界點。
當寬處於卵圓對稱軸的中點時，卵圓的上、下半軸相等。當寬向紡錘形的短邊移動時，長半軸為下半軸；當寬向紡錘形的長邊移動時，長半軸為上半軸。因此，中點是上、下半軸互為長半軸的臨界點。
5計算方法
卵圓由參數和特徵參數兩種表示方法。參數系指焦點紡錘形參數或比值，特徵參數系指形狀參數。根據卵圓參數，可以建立參數與參數、參數與特徵參數之間關係式。
5.1參數計算
根據卵圓的參數，通過建立的參數和參數、參數和特徵參數的關係式，在微機上編制計算表格，計算卵圓的相關參數和特徵參數。設AB、BD和BC為卵圓的三個參數（可以設定為其他參數），三個參數確定紡錘形ABDC，從而確定一個標準卵圓。因此，三個參數可以計算出卵圓的特徵參數和相關參數。
5.2特徵參數
由卵圓的特徵參數與參數之間能夠建立的等式關係式，已知特徵參數的長、寬和半軸，則不能直接計算出卵圓的參數值，這是由於兩者間複雜關係決定的。採用模擬計算方法，解決了已知特徵參數卵圓的參數求解（算例略）。
6參考文獻：
多焦點圓及其橢圓和卵圓[J].圖學學報，2013，34（2）：52—64.
多焦點圓.中文百科.
卵圓圖形特徵.百度文庫.
