卡諾定理(數學定理)

三角形外心到各邊距離之和等於外接圓半徑與內接圓半徑之和，這一定理稱為卡諾定理，在推斷代數等領域中的三角形性質中有重要作用。

基本介紹

• 中文名：卡諾定理
• 提出者：卡諾
• 套用學科：數學

卡諾定理

內容

三角形外心到各邊距離之和等於外接圓半徑與內接圓半徑之和

引理

在外接圓半徑為R，內接圓半徑為r的三角形ABC中，r和R有如下關係：

證明

假設ABC為外心為D的銳角三角形，外心到AB、BC、AC的距離分別為DG、DH、DF，則在三角形HDB中，由外心性質可得

DB=R

角HDB=角A

由此，DH的表達式為

DH=RcosA

同理DG=RcosC、DF=RcosB。

因此，

根據引理，得證

DG+DH+DF=R+r

當ABC為鈍角三角形，且角B大於90°時，則有

DH=RcosA

DF=Rcos(π-B)=-RcosB

DG=RcosC

所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r，結論相同，卡諾定理得證。