基本介紹
- 中文名：卡拉西奧多里-哈恩延拓定理
- 外文名：Caratheodory-Hahn extension theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,測度,延拓,
簡介
設μ是代數𝒜上的測度，μ*是由μ導出的外測度，𝒜*是μ*可測集的σ代數，則μ*限制到𝒜*上是μ的延拓；又若μ對於𝒜是σ有限的，∑是滿足𝒜⊂∑⊂𝒜*的任何σ代數，則μ*是∑上惟一成為μ的延拓的測度。
測度
數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。
定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度。
延拓
設E與F為兩個集合，P為E的子集，而f為從P到F中的映射. 任一從E到F中的映射，如果它在P上的限制為f，則稱該映射為f在E上的延拓。
