博赫那定理

博赫那定理（Bochner theorem）是經典博赫那定理的推廣。描述的是局部緊交換群G上連續函式φ為正定函式的充分必要條件。

基本介紹

• 中文名：博赫那定理
• 外文名：Bochner theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

博赫那定理是經典博赫那定理的推廣。

設G為局部緊交換群，Ĝ為G的對偶群，則G上連續函式φ為正定函式的充分必要條件是，存在Ĝ上非負的有界波萊爾測度μ，使下式成立：

其中γ→<x,γ>為Ĝ上的特徵標。這就是博赫那定理。

局部緊交換群

(locally compact abelian group)

局部緊交換群是一類特殊的交換群。

設G是一個局部緊豪斯多夫空間，又是一個交換群，且映射

是連續的，則稱G為局部緊交換群，簡稱LCA群。

特徵標

特徵標是一種特殊函式，即群G的與它的某個線性表示有密切關係的函式。

設ρ:G→GL(V)是群G的一個F線性表示。取定V的一個基，並假定在這一基下ρ對應的矩陣表示為T:G→GL_n(F)。對g∈G，記tr(T(g))為矩陣T(g)的跡，即T(g)的主對角線元素之和。定義G上的F值函式𝜒(g)=tr(T(g))，g∈G，其取值與v的基選擇無關，稱這一函式為P所提供的F特徵標。