半有限跡

設tr(·)是ℳ+上的跡，若對使得tr(A)=+∞的任一A∈ℳ⁺，必有B∈ℳ⁺，使得 A≥B≠0，而且tr(B)<+∞，則稱tr(·)是半有限跡。

基本介紹

• 中文名：半有限跡
• 外文名：semi-finite trace
• 適用範圍：數理科學

簡介

跡

跡是矩陣跡概念的推廣。設 𝓜 是馮·諾伊曼代數，𝓜⁺為屬於𝓜 的正運算元全體，如果tr(A) 是𝓜⁺上的非負實值（不恆為0，可以取值+∞）泛函，滿足：

1、;

2、當λ≥0時，tr(λA)=λtr(A)；

3、對於𝓜 內任意酋運算元 V，有

則稱 tr(·)是𝓜⁺上的跡。

定義

若對一切，有tr(A)<+∞，則稱tr為有限跡。

若對使得tr(A)=+∞的任一，必有，使得 A≥B≠0，而且tr(B)<+∞，則稱tr(·)是半有限跡。

推廣

若當{A_α}為𝓜⁺的向上有向族，且 A 為此族的上確界時，總有tr(A)=sup tr(A_α)，則稱 tr 為正規跡。

馮·諾伊曼代數

亦稱弱閉對稱運算元環，是一類由運算元構成的弱閉的C*代數。

令𝓑(H)為希爾伯特空間H上有界線性運算元全體所成的C*代數，其中∗運算為取共軛。如果𝓜是𝓑(H)的含恆等運算元I的巴拿赫∗子代數（即自伴子代數），且關於𝓑(H)的弱運算元拓撲是閉的，則稱𝓜為馮·諾伊曼代數，常簡稱v.N.代數（關於運算元範數拓撲為閉的巴拿赫∗子代數是C*代數）。